Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Определение и примеры метрических пространствСтр 1 из 22Следующая ⇒
Предисловие Данное учебно-методическое пособие предназначено студентам-заочникам математического факультета для организации самостоятельной работы и подготовки к зачету и экзамену. В нем содержится теоретический материал раздзела математического анализа “Метрические пространства” и шесть вариантов контрольных работ по тематике разделов математического анализа “Метрические пространства” и “Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих переменных”, образец решения нулевого варианта, вопросы к экзамену, список рекомендуемой литературы. Содержание пособия соответствует программе курса математического анализа. В пособии использованы распространенные символы математической логики и логические операторы Þ, Û, Î, Ì, ", $. Для удобства текст, которым начинается и завершается доказательство теорем, показаны значками 3и4соответственно.
Определение и примеры метрических пространств Известно, что расстояние между двумя точками М 1(х 1, y 1) и М 2(х 2, y 2)плоскости вычисляется по формуле и имеет свойства: 1) r (M 1, M 2) ³ 0; r (M 1, M 2) = 0 Û M 1 = M 2; 2) r (M 1, M 2) = r (M 2, M 1); 3) r (M 1, M 2) £ r (M 1, M 3) + r (M 2, M 3) (неравенство треугольника). Напомним, что если имеются два непустых множества X и Y, то их декартовым произведением X´ Y называется множества всех упорядоченных пар . В частности X´ Х обозначается X 2. Обобщим понятие расстояния на любое множества с помощью понятия декартового произведения двух множеств: . Пусть Х – некоторое непустое множества любой природы. Рассмотрим декартовое произведение . Определение 1.1. Метрикой (расстоянием) на множестве Х называется отображение r декартова произведения Х ´ Х в множества действительных чисел, удовлетворяющее следующим условиям для " x, y, zÎ X: 1) r (x, y) ³ 0; r (x, y) =0 Û x = y; 2) r (x, y) = r (y, x); 3) r (x, y) £ r (x, z) + r (y, z) (неравенство треугольника). Значение функции r в точке (x, y), т.е. число r (x, y), называется расстоянием между точками x и y. Условия 1-3 называются аксиомами метрики.
|