Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Классификация точек и множеств в метрических пространствах
Пусть (Х, r) – метрическое пространство. Определение 2.1. Открытым шаром с центром в точке х о и радиусом e называется множества всех точек х, которые удовлетворяют условию r (x, х о) < e. Это множества называется также e -окрестностью точки хо и обозначается U (x o, e) или Ue (xo). Пример 2.1. Открытый шар в различных пространствах: - в пространстве R 1: (x o- e; x o + e) – интервал;
- в пространстве R 2: открытый круг;
- в пространстве R 3: открытый шар.
Определение 2.2.Замкнутым шаром с центром в точке х о и радиусом e называется множества всех точек х, которые удовлетворяют условию r (x, хо) £ e. Мы будем говорить шар и будем иметь в виду определение 2.2. Сфера – множества точек, которые удовлетворяют условию r (x, х о) = e. Пример 2.2. Шар в различных пространствах:
- в пространстве R 1: [ x o- e; x o + e ] – отрезок;
- в пространстве R 2: замкнутый круг или просто круг;
- в пространстве R 3: замкнутый шар или шар.
Определение 2.3. Множества ЕÌ Х называется ограниченным в метрическом пространстве(Х, r), если существует шар конечного радиуса, который содержит это множества. Замечание 2.1. Множества в различных метрических пространствах могут быть ограниченными и неограниченными. Пример 2.3. Интервал (3; 5) Ì R –ограниченное множество в пространстве R; интервал (3; 5) пространстве Х = ((3; 5), r (x, y) = ½ х-y ½) не является ограниченным в пространстве Х. Определение 2.4. Пусть ЕÌ Х. Точка х 0 называется граничной точкой множества Е, если в любой окрестности этой точки содержатся точки, которые принадлежат множеству Е и не принадлежат ему. Множества граничных точек – граница множества Е и обозначается ¶Е. Пример 2.4. Множества Е 1 = (0; 1] Ì R Þ ¶Е = { 0; 1}; множества Е2 = (0; 1] Ì Х = ((0; 1], r (x, y) = ½ х- в ½) не имеет границы. Замечание 2.2. Граничные точки множества могут как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему. Определение 2.5. Точка х 0 называется внутренней точкой множества Е, если существует окрестность точки х 0, которая целиком содержится в множестве Е. Множество всех внутренних точек называется внутренностью множества Е и обозначается . Пример 2.5. Е 1 = (2; 3), Е 2 = (2; 3], Е 3 = [2; 3] Þ = = = (2; 3) Пример 2.6. в метрическом пространстве R; = Е в пространстве: Х = ((2, 3]È È {4, 5}, r (x, y) = ½ х-в ½) – подпространство м.пр. R. Определение 2.6. Если каждая точка множества Е внутренняя, то оно называется открытым, а его внутренность совпадает с самим множеством: = Е. В примере 2.5 множество Е 1 является открытым, а множества Е 2 и Е 3 не являются открытыми. В примере 2.6 в первом случае множество Е не является открытым, во втором - является открытым. Пример 2.7. Интервал (a, b)является открытым множеством в метрическом пространстве R. Определение 2.7. Точка х о называется предельной точкой множества Е, если в любой его окрестности содержится бесконечно много точек множества Е. Другими словами точка х о называется предельной точкой множества Е, если в любой его окрестности находится хотя бы одна точка множества Е, которая не совпадает с х о. Множество всех предельных точек множества Е называется производным множеством множества Е и обозначается Е¢. Замечание 2.3. Предельные точки могут как принадлежать множеству Е, так и не принадлежать ему.
|