Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теорема 3 (достатня ознака зростання і спадання функції на проміжку). Якщо функціяf(x)зростає (спадає) в кожній точці інтервалу (a; b),то вона (спадає) на цьому інтервалі.






41. Ознаки монотонності
диференційовних функцій

Розглянемо деякі ознаки монотонності і строгої монотонності диференційовних на проміжку функцій.

Теорема 4 (ознака монотонності). Нехай функція f (x) неперер­вна на проміжку [ а; b ] і диференційовна в інтервалі (a; b). Тоді:

1) для того щоб функція f (x) була монотонно зростаючою на проміжку [ а; b ], необхідно і достатньо, аби виконувалася нерівність для всіх х Î (a; b);

2) для того щоб функція f (x) була монотонно спадною на проміжку [ а; b ], необхідно і достатньо, аби виконувалась нерівність для всіх х Î (a; b).

Теорема 5 (ознака строгої монотонності). Нехай функція f (x) неперервна на проміжку [ а; b ] і диференційовна в інтервалі (a; b). Для того щоб функція f (x) була зростаючою (спадною) на проміжку [ а; b ], необхідно і достатньо виконання двох умов :

1) (x) ³ 0( (x) £ 0) для будь-якого х Î (a; b);

2) рівність (x) = 0 не повинна виконуватися в жодному інтервалі, що лежить в [ а; b ].

Теорема 6 (достатня ознака строгої монотонності). Нехай функція f (x) неперервна на проміжку [ а; b ] і диференційовна в інтервалі (a; b). Якщо (x) > 0 для всіх х Î (a; b), то f (x) зростає на [ а; b ], якщо ж (x) < 0 для всіх х Î (a; b), то f (x) спадає на [ а; b ].

42. Поняття максимуму
та мінімуму на множині

Нехай функція f (x) визначена на числовій множині Е.

Означення. Функція f (x) на множині Е має найбільше значення В або максимум (найменше значення А або мінімум), коли існує точка х 0Î Е така, що для всіх х Î Е виконується умова

Позначатимемо:

Максимум (мінімум) функції на множині інколи називають абсолютним максимумом (абсолютним мінімумом).

Можна помітити, що коли , то . Також , коли . Отже, коли функція f (x) на множині Е має максимум (мінімум), то цей максимум (мінімум) збігається з верхньою (нижньою) межею значень функції на множині Е.

Зауважимо, що функція на заданій множині може і не мати максимуму або мінімуму.

Знайти найбільше і найменше значення функції:

f (x) = х 2, х Î Е ={– 1, 0, 1, 2, 3}.

● Маємо f (x) = f (3) = 9, .

Нехай функція f (x) визначена на проміжку [ а; b ] і х 0 — внутрішня точка проміжку: х 0Î (a; b).

Означення. Функція f (x) в точці х 0 має максимум, якщо існує окіл точки х 0, що для всіх х, х ¹ х 0, цього околу виконується нерівність f (x) £ f (x 0). Саме значення f (x 0) називатимемо максимумом (локальним максимумом) функції f (x) в точці x 0 і позначатимемо max f (x) = f (x 0).

Функція f (x) в точці х 0 має мінімум, якщо існує окіл точки х 0, що для всіх х (х ¹ х 0), які належать цьому околу, буде виконуватись нерівність f (x) ³ f (x 0). При цьому саме значення f (x 0) називатимемо мінімумом (локальним мінімумом) функції f (x) в точці х 0 і позначатимемо min f (x) = f (x 0).

Рис. 5.31

Далі, якщо для х ¹ х 0 у даному околі точки х 0 , функція f (x) має строгий максимум (строгий мінімум).

Максимум і мінімум функції в точці об’єднує спільний термін — екстремум (локальний екстремум) функції в точці.

 

43. Необхідна умова екстремуму.
Нехай функція f (x) визначена і диференційовна в інтервалі (a; b).

Означення. Точки інтервалу (a; b), в яких похідна (x) перетворюється в нуль ( (x) = 0), називаються стаціонарними точками функції f (x) в інтервалі (a; b).

Геометрична інтерпретація. Кожна стаціонарна точка х 0Î (a; b) функції f (x), диференційовної в інтервалі (a; b), характеризується тим, що дотична до кривої у = f (x) в точці (х 0; f (x 0)) паралельна осі абсцис, оскільки кутовий коефіцієнт цієї дотичної .

Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [ a; b ] і диференційовна на проміжку (a; b) за винятком, можливо, скінченного числа точок, в яких функція не має похідної.

Теорема 1. Для того щоб точка х 0 була точкою екстремуму функції, визначеної в околі цієї точки, необхідно, щоб похідна функції в цій точці дорівнювала нулю ( (x) = 0) або функція була недиференційовна в цій точці.

Доведення випливає з теореми Ферма.

Означення. Для функції f (x), неперервної на відрізку [ а; b ] і диференційовної на інтервалі (a; b) (за винятком, можливо, скінченного числа точок, де не існує похідної (x) в цьому інтервалі), точки, де її похідна дорівнює нулю або не існує, називатимемо критичними її точками на проміжку [ а; b ], або точками, «підозрілими» на екстремум функції f (x) на проміжку [ а; b ].

Знайти критичні точки функції

.

● Маємо (x) = х 2 – 5 х + 6. Розв’язавши рівняння (x) = 0, дістанемо х = 2 і х = 3. Оскільки функція f (x) диференційовна, то критичними точками будуть лише стаціонарні, тобто точки х = 2 і х = 3.

44. Достатні умови строгого екстремуму

Нехай функція f (x) диференційовна в деякому околі точки х 0, за винятком, можливо, самої точки х 0. Будемо говорити, що похідна (x) при переході через точку х 0 змінює знак із плюса на мінус, якщо існує такий окіл точки х 0, що для (x) > 0, а для (x) < 0. Аналогічно (x) при переході через точку х 0 змінює знак із мінуса на плюс, якщо існує окіл точки х 0, що для (x) < 0, а для (x) > 0.

Нарешті, (x) при переході через точку х 0 не змінює знака, якщо для і для (x) зберігає один і той самий знак (буде або додатна, або від’ємна).

Теорема 2. Нехай функція f (x) диференційовна в околі точки х 0, за винятком, можливо, самої точки х 0, в якій f (x) неперервна. Тоді:

1) якщо при переході через точку х 0 похідна (x) змінює знак з плюса на мінус, то в точці х 0 функція f (x) має строгий максимум;

2) якщо при переході через точку х 0 похідна (x) змінює знак з мінуса на плюс, то в точці х 0 функція f (x) має строгий мінімум;






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.