Теорема 3 (достатня ознака зростання і спадання функції на проміжку). Якщо функціяf(x)зростає (спадає) в кожній точці інтервалу (a; b),то вона (спадає) на цьому інтервалі.

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

41. Ознаки монотонності
диференційовних функцій

Розглянемо деякі ознаки монотонності і строгої монотонності диференційовних на проміжку функцій.

Теорема 4 (ознака монотонності). Нехай функція f (x) неперервна на проміжку [ а; b ] і диференційовна в інтервалі (a; b). Тоді:

1) для того щоб функція f (x) була монотонно зростаючою на проміжку [ а; b ], необхідно і достатньо, аби виконувалася нерівність для всіх х Î (a; b);

2) для того щоб функція f (x) була монотонно спадною на проміжку [ а; b ], необхідно і достатньо, аби виконувалась нерівність для всіх х Î (a; b).

Теорема 5 (ознака строгої монотонності). Нехай функція f (x) неперервна на проміжку [ а; b ] і диференційовна в інтервалі (a; b). Для того щоб функція f (x) була зростаючою (спадною) на проміжку [ а; b ], необхідно і достатньо виконання двох умов :

Теорема 6 (достатня ознака строгої монотонності). Нехай функція f (x) неперервна на проміжку [ а; b ] і диференційовна в інтервалі (a; b). Якщо f¢ (x) > 0 для всіх х Î (a; b), то f (x) зростає на [ а; b ], якщо ж f¢ (x) < 0 для всіх х Î (a; b), то f (x) спадає на [ а; b ].

Нехай функція f (x) визначена на числовій множині Е.

Означення. Функція f (x) на множині Е має найбільше значення В або максимум (найменше значення А або мінімум), коли існує точка х ₀Î Е така, що для всіх х Î Е виконується умова

Максимум (мінімум) функції на множині інколи називають абсолютним максимумом (абсолютним мінімумом).

Можна помітити, що коли

, то

. Також

, коли

. Отже, коли функція f (x) на множині Е має максимум (мінімум), то цей максимум (мінімум) збігається з верхньою (нижньою) межею значень функції на множині Е.

Зауважимо, що функція на заданій множині може і не мати максимуму або мінімуму.

Знайти найбільше і найменше значення функції:

Нехай функція f (x) визначена на проміжку [ а; b ] і х ₀ — внутрішня точка проміжку: х ₀Î (a; b).

Означення. Функція f (x) в точці х ₀ має максимум, якщо існує окіл точки х ₀, що для всіх х, х ¹ х ₀, цього околу виконується нерівність f (x) £ f (x ₀). Саме значення f (x ₀) називатимемо максимумом (локальним максимумом) функції f (x) в точці x ₀ і позначатимемо max f (x) = f (x ₀).

Функція f (x) в точці х ₀ має мінімум, якщо існує окіл точки х ₀, що для всіх х (х ¹ х ₀), які належать цьому околу, буде виконуватись нерівність f (x) ³ f (x ₀). При цьому саме значення f (x ₀) називатимемо мінімумом (локальним мінімумом) функції f (x) в точці х ₀ і позначатимемо min f (x) = f (x ₀).

Далі, якщо для х ¹ х ₀ у даному околі точки х ₀

, функція f (x) має строгий максимум (строгий мінімум).

Максимум і мінімум функції в точці об’єднує спільний термін — екстремум (локальний екстремум) функції в точці.

43. Необхідна умова екстремуму.
Нехай функція f (x) визначена і диференційовна в інтервалі (a; b).

Означення. Точки інтервалу (a; b), в яких похідна f¢ (x) перетворюється в нуль (f¢ (x) = 0), називаються стаціонарними точками функції f (x) в інтервалі (a; b).

Геометрична інтерпретація. Кожна стаціонарна точка х ₀Î (a; b) функції f (x), диференційовної в інтервалі (a; b), характеризується тим, що дотична до кривої у = f (x) в точці (х ₀; f (x ₀)) паралельна осі абсцис, оскільки кутовий коефіцієнт цієї дотичної

Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [ a; b ] і диференційовна на проміжку (a; b) за винятком, можливо, скінченного числа точок, в яких функція не має похідної.

Теорема 1. Для того щоб точка х ₀ була точкою екстремуму функції, визначеної в околі цієї точки, необхідно, щоб похідна функції в цій точці дорівнювала нулю (f¢ (x) = 0) або функція була недиференційовна в цій точці.

Означення. Для функції f (x), неперервної на відрізку [ а; b ] і диференційовної на інтервалі (a; b) (за винятком, можливо, скінченного числа точок, де не існує похідної f¢ (x) в цьому інтервалі), точки, де її похідна дорівнює нулю або не існує, називатимемо критичними її точками на проміжку [ а; b ], або точками, «підозрілими» на екстремум функції f (x) на проміжку [ а; b ].

● Маємо f¢ (x) = х ² – 5 х + 6. Розв’язавши рівняння f¢ (x) = 0, дістанемо х = 2 і х = 3. Оскільки функція f (x) диференційовна, то критичними точками будуть лише стаціонарні, тобто точки х = 2 і х = 3.

Нехай функція f (x) диференційовна в деякому околі точки х ₀, за винятком, можливо, самої точки х ₀. Будемо говорити, що похідна f¢ (x) при переході через точку х ₀ змінює знак із плюса на мінус, якщо існує такий окіл

точки х ₀, що для

f¢ (x) > 0, а для

f¢ (x) < 0. Аналогічно f¢ (x) при переході через точку х ₀ змінює знак із мінуса на плюс, якщо існує окіл

точки х ₀, що для

f¢ (x) < 0, а для

f¢ (x) > 0.

Нарешті, f¢ (x) при переході через точку х ₀ не змінює знака, якщо для

і для

f¢ (x) зберігає один і той самий знак (буде або додатна, або від’ємна).

Теорема 2. Нехай функція f (x) диференційовна в околі точки х ₀, за винятком, можливо, самої точки х ₀, в якій f (x) неперервна. Тоді:

1) якщо при переході через точку х ₀ похідна f¢ (x) змінює знак з плюса на мінус, то в точці х ₀ функція f (x) має строгий максимум;

2) якщо при переході через точку х ₀ похідна f¢ (x) змінює знак з мінуса на плюс, то в точці х ₀ функція f (x) має строгий мінімум;