Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!
Геометрична ілюстрація
|
|
Рис. 5.27
Зауваження. У деяких підручниках розглядаються тільки строго опуклі і строго вгнуті диференційовні функції. Дослідження на опуклість і вгнутість зводиться до дослідження монотонності її похідної f¢ (x). Якщо функція f (x) двічі диференційовна, то для дослідження f¢ (x) на монотонність можна застосувати критерій для нестрогої і строгої монотонності функції на проміжку. При цьому графік строго опуклої функції f (x) називають кривою у = f (x), повернутою опуклістю вниз (або кривою, повернутою вгнутістю вгору), а графік строго вгнутої функції f (x) називають кривою у = f (x), повернутою вгнутістю (або кривою, повернутою опуклістю вгору).
Показати, що крива 
всюди вгнута догори.
● Маємо 
За наслідком із теореми функція 
строго опукла в інтервалі (– ¥; + ¥), отже, крива скрізь вгнута догори.
Дослідити криву 
на напрямок вгнутості.
● Функція 
визначена в інтервалі (– 1; + ¥). У цьому інтервалі
і 
в точках х 1 = 0 і 
.
Методом інтервалів знаходимо, що 
в інтервалі (–1; 0), 
в інтервалі 
і 
в інтервалі 
. За наслідком із теореми доходимо висновку, що в інтервалах (– 1; 0) і крива вгнута донизу, а в інтервалі 
вгнута вгору.
38. Точки перегину
Нехай функція f (x) диференційовна в інтервалі (а; b) за винятком, можливо, точки с Î (а; b), в якій вона неперервна і або не диференційовна, або має нескінченну похідну.
Означення. Точка с називається точкою перегину кривої
у = f (x), де х Î (а; b), якщо існує такий окіл точки с, в якому для
х < с крива у = f (x) опукла, а для х > с крива у = f (x) вгнута, або якщо для х < с крива у = f (x) вгнута, а для всіх х > с опукла.
Рис. 5.28
При цьому точку графіка (с; f (c)) також називають точкою перегину (рис. 5.28).
Геометрична інтерпретація. Точка с є точкою перегину кривої, якщо при переході через точку с крива у = f (x) має перегин, переходячи від опуклої до вгнутої, або навпаки. У самій же точці с функція f (x) або диференційовна, тобто крива у = f (x) має дотичну, не паралельну осі Оу, або неперервна (має дотичну, паралельну осі Оу).
Знайти точки перегину кривої 
.
· Маємо
.
Для х < 0 похідна у ¢ (х) є зростаючою, а для х > 0 — спадною. Звідси для х < 0 крива вгнута вгору, а для х > 0 вгнута вниз, в точці
х = 0 функція неперервна і має нескінченну похідну. Отже, точка х = 0 є точкою перегину. Інших точок перегину немає (рис. 5.29).
Рис. 5.29
39. Необхідна і достатня умови
існування точок перегину
Теорема 1 (необхідна умова). Нехай функція f (x) двічі диференційовна в околі точки с і функція f² (х) неперервна в точці с. Якщо точка с є точкою перегину кривої у = f (x) тоді f² (с) = 0.
Із означення точки перегину кривої у = f (x) та умов опуклих диференційовних функцій випливають такі достатні умови наявності точок перегину.
Теорема 2. Якщо функція f (x) диференційовна в деякому околі точки с і для х < с цього околу f¢ (х) зростає, а для х > с спадає або, навпаки, для х < с похідна f¢ (х) спадає, а для х > с зростає, то х = с буде точкою перегину у = f (x).
Теорема 3. Якщо функціяf(x)двічі диференційовна в деякому околі точки с іf² (х) < 0длях < сцього околу, а f² (х) > 0длях > сабо, навпаки, f² (х) > 0для х < с, а f² (х) < 0длях > с, то точка сбуде точкою перегину кривої.
Знайдемо точки перегину кривої 
.
· Знайдемо першу та другу похідну функції:
; 
,
, якщо 
;
, якщо 
;
, якщо 
.
Отже, точки 
є точками перегину
·
Рис. 5.30.
40. Ознака сталості
диференційовних функцій. Зростання і спадання функції
Теорема 1. Нехай функціяf(x)неперервна на проміжку [a; b]і диференційовна в кожній його внутрішній точці. Для того щоб функціяf(x)була сталою на проміжку[a; b], необхідно і достатньо, аби для всіх.
Означення. Нехай функція f (x) визначена на проміжку (a; b) і х 0Î (a; b). Кажуть, що f (x) зростає в точці x 0, якщо існує окіл точки x 0, в якому f (x) < f (x 0) для х < x 0, а для х > x 0
f (x) > f (x 0).
Аналогічно за означенням f (x) спадає в точці х 0Î (a; b), якщо існує її окіл, в якому f (x) > f (x 0) для х < x 0, а f (x) < f (x 0) для х > x 0.
Теорема 2 (достатня ознака зростання і спадання функції в точці). Якщо функція f(x) диференційовна в точці х0Î (a; b) і f¢ (x0) > 0 (f¢ (x0) < 0), то f(x) зростає (спадає) в точці х0.
|
|