Задача № 9.

9.1. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

9.2. Измерение дальности до объекта сопровождается систематическими и случайными ошибками. Систематическая ошибка равна 50 м в сторону занижения дальности. Случайные ошибки подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением = 100 м. Найти: 1) вероятность измерения даль-ности с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 150 м; 2) вероятность того, что измеренная дальность не превзойдет истинной.

9.3. Определить среднее квадратическое отклонение случайной ошибки прибора, если систематических ошибок он не имеет, а случайные распределены по нормальному закону и с вероятностью 0, 8 не выходят за пределы 20 м.

9.4. Случайная величина X подчинена нормальному закону распределения с параметрами а = -1, = 2. Определить вероятность неравенства -2 < X < 1. Построить график плотности распределения.

9.5. На автомате изготавливаются заклепки. Диаметр их головок пред-ставляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, и имеет среднее значение, равное 2 мм, и дисперсию, равную 0, 01. Какие размеры диаметра головок заклепки можно гарантировать с вероятностью 0, 95?

9.6. Случайная величина X распределена по нормальному закону с парамет-рами a = 30, = 10. В какой интервал с вероятностью практической достоверности 0, 997 попадут значения случайной величины X?

9.7. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0, 7 мм. Считая, что случайная X величина распределена нормально со средним квадратическим отклонением = 0, 4 мм, найти, сколько будет готовых шариков среди 100 изготовленных.

9.8. Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с плотностью Определить вероятность того, что случайная величина Х примет значение, не меньшее 0 и не больше 12.

9.9.Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с параметрами Написать выражение для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить график функции распределения.

9.10. Длина изготовляемой автоматом детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами см, см. Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть 15 0, 3 см. Какую точность изготовляемой автоматом детали можно гаран-тировать с вероятностью 0, 97?

9.11. При взвешивании тела установлен средний вес 2, 36 г и среднее квадратическое отклонение веса 0, 025 г. Вес – случайная величина Х, распреде-ленная нормально. Найти: а) какой процент значений находится между 2, 3 г и 2, 4 г; б) какую точность взвешивания можно гарантировать с вероятностью 0, 97?

9.12. Размер диаметра втулок, изготовляемых цехом, можно считать нормаль-но распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 2, 5 см и дисперсией 0, 0001 см², в каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулки, если за вероятность практической достоверности принимается 0, 997?

9.13. На стенке изготовляются детали заданной длины. Установлено, что

60 % деталей отклоняются от заданной длины не более чем на 2 мм (в обе стороны). Какой процент деталей будет отклоняться от заданной длины не более чем на 5 мм, если предполагается, что величина отклонения есть случайная величина, распределенная по нормальному закону?

9.14. Бомбардировщики сбросили бомбы на мост длиной 60 м и шириной 12 м. Рассеивание попаданий происходит по нормальному закону с дисперсией, равной 225 м² по длине и 36 м² по ширине, средняя точка попаданий - центр моста. Рассеивания по длине и ширине независимы. Найти вероятность попадания в мост при сбрасывании одной бомбы.

9.15. Стрельба ведется от точки Х вдоль прямой ОХ. Средняя дальность полета «а». Предполагается, что дальность полета распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 80 м. Найти, какой процент выпускаемых снарядов дает перелет от 120 м до 160 м.

9.16. Случайная величина X подчинена нормальному закону с параметрами а, s. Вычислить с точностью до 0, 01 вероятность попадания значений случайной величины X в интервал (а; а+s) (без использования таблиц функции Лапласа).

9.17. Считается, что отклонение длины изготовляемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина равна 40 см и среднее квадратическое отклонение равно 0, 4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0, 8?

9.18. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону. Параметры его следующие: cреднее квадратическое отклонение математическое ожидание а = 375 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет заклю-чен в границах от 300 г до 425 г.

9.19.Пусть диаметр изготовляемой детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание ее а = 4, 5 см, а среднее квадратическое отклонение = 0, 05 см. Найти вероятность того, что размер диаметра взятой наудачу детали отличается от математического ожидания не более чем на 1 мм.

9.20. Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно 2 см, а математическое ожидание равно 16 см. Най-ти границы, в которых с вероятностью 0, 95 следует ожидать значение случайной величины.

9.21. Найти дисперсию случайной величины, распределенной по нормальному закону, если известно, что отклонения от математического ожидания, не превосходящие 0, 1 см, имеют место с вероятностью 0, 7887.

9.22. Станок-автомат изготавливает валики, причем одновременно контролирует их диаметр Х. Считая, что Х - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 10 мм и средним квадратическим отклонением

s = 0, 1 мм, найти интервал, в котором с вероятностью 0, 9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

9.23. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х имеет вид Найти: 1) g; 2) математическое ожидание , дисперсию ; 3) вероятность выполнения неравенства .

9.24. Случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Какое из двух событий или имеет большую вероятность?

9.25. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами .Что больше: или

9.26. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей 15 мм; не превосходящей 20 мм.

9.27. Автомат изготовляет подшипники, которые считаются годными, если отклонение Х от проектного размера по модулю не превосходит 0, 77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если Х - случайная вели-чина, распределенная нормально с s = 0, 4мм?

9.28. Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0, 0001 cм², а математическое ожидание 2, 5 см. В каких границах можно практически гарантировать диаметр детали (за достоверное принимается событие, вероятность которого 0, 9973)?

9.29. Рост взрослых женщин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Математическое ожидание ее пусть равно 164 см, а среднее квадратическое отклонение 5, 5 см. Найти плотность вероятности и функцию распределения этой случайной величины. Вычислить вероятность того, что ни одна из пяти наудачу выбранных женщин не будет иметь рост более 160 см.

9.30. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно 16 км, а среднее квадратическое отклонение равно 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами а) не меньше 15, 8 км; б) не более 16, 25 км.