Задача № 7.

7.1. Дана функция распределения случайной величины X:

Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал и показать эту вероятность на графиках плотности и функции распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

7.2. График плотности распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

f(x)

Найти функции f(x) и F(х).

Вычислить М[Х].

x

^{-2 0 4}

7.3. График плотности распределения непрерывной случайной величины Xимеет вид

f(x) Найти математическое ожидание,

дисперсию и среднее квадрати-

ческое отклонение.

^{0 2} x

7.4.Случайная величина X задана плотностью распределения Найти коэффициент A. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Найти функцию распределения и вероятность того, что значения случайной величины будут находиться в интервале (0; ).

7.5. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти коэффициент A. Определить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

7.6. Случайная величина X распределена по " Закону прямоугольного треугольника" в интервале (0, а).

f(x)

x

^{0 а}

Написать выражение плотности распределения. Найти функцию распределения. Найти вероятность попадания случайной величины X на участок от а/2 до а. Найти характеристики случайной величины Х: .

7.7. Известна функция распределения срока службы блока

Найти коэффициент K.Найти средний срок службы и дисперсию срока службы блока.

7.8. Плотность вероятности случайной величины Х задана функцией:

Найти ее функцию распределения, построить графики плотности вероятности и функции распределения.

7.9. Плотность распределения времени безотказной работы электронно-лучевой трубки имеет вид (по закону Вейбулла)

Найти функцию распределения случайной величины T и вероятность безотказной работы трубки в течение 4 часов.

7.10. Случайная величина X подчинена закону Симпсона (" Закону равнобедренного треугольника") на участке от -a до a.

f(x)

x

-a 0 a

Написать выражение плотности распределения. Найти функцию распределения. Найти числовые характеристики случайной величины X: Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал (-a/2; a).

7.11. Плотность распределения непрерывной случайной величины в интервале равна , вне этого интервала f(x) =0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная величина X примет ровно два раза значение, заключенное в интервале (0; ).

7.12. Дана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Найти функцию распределения. Построить графики функций f(x) и F(X).

7.13. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, распределенной в интервале () с плотностью вероятностей , вне этого интервала f(x) = 0.

7.14. Дана плотность вероятности случайной величины X: Построить графики функций f(x) и F(x). Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал (-1; 1) и показать ее на графиках.

7.15. Непрерывная случайная величина X задана законом распределения

Найти: 1) коэффициент C; 2) функцию распределения F(x); 3) математическое

ожидание и дисперсию X.

7.16. Случайная величина X задана плотностью распределения:

Найти: 1) коэффициент C; 2) функцию распределения F(x); 3) вероятность попадания случайной величины на интервал (p/6; p/4); 4) математическое ожидание X.

7.17. Непрерывная случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

Найти коэффициент c, М[X], D[X]. Построить график функции распределения F(x).

7.18. Плотность распределения случайной величины Х задана графически:

f(х) Написать выражение плотности распре-

деления f(х); найти функцию распре-

деления и построить ее график; найти

математическое ожидание и дисперсию.

_{0 2 4} x

7.19. Случайная величина X распределена логарифмически нормально, т. е. ее плотность

где а - любое действительное число, - положительно. Найти M[X].

7.20. Плотность распределения вероятности случайной величины . Требуется: а) найти коэффициент a, б) найти функцию распределения случайной величины X, в) вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 1/k).

7.21. Плотность распределения вероятности случайных амплитуд боковой качки корабля имеет вид (закон Рэлея) .Определить: а) функцию распределения случайной величины X; б) математическое ожидание M[X], дисперсию D[X], среднее квадратическое отклонение s_x.

7.22. Функция f(x) равна нулю при -¥ < x < 1 и равна , если 1 x < +¥. Найти: а) значение A, при котором эта функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины X; б) функцию распределения этой случайной величины; в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях она ни разу не попадает в интервал (1; 2).

7.23. Функция является плотность распределения вероятности случайной величины Х. Определить: а) коэффициент А; б) функцию распределения F(x), в) вероятность того, что случайная величина Х примет значение, не меньше единицы.

7.24. Случайная величина X может принимать только неотрицательные значения, ее функция распределения . Найти: а) плотность распределения вероятности; б) математическое ожидание M[X]. Построить графики f(x) и F(x).

7.25. Случайная величина X имеет плотность распределения вероятности

Определить коэффициент " a" и построить график плотности. Найти функцию распределения F(x).

7.26. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью

Найти коэффициент a. Построить график плотности. Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал (1; 2).

7.27. Случайная величина X задана функцией распределения

Вычислить вероятность попадания случайной величины X в интервал (1; 2, 5). Найти плотность распределения f(x), математическое ожидание M[X], дисперсию D[X].

7.28. Дана функция

При каком значении l функция f(x) может быть принята за плотность распределения вероятности случайной величины X? Определить это значение l, найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

7.29. Плотность распределения случайной величины

Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков, коэффициент асимметрии и эксцесс.

7.30. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

Определить: 1)при каких значениях A и B функция распределения является непрерывной; 2) плотность распределения вероятностей f(x); 3) P(-a/2 < X< a/2).

Задача № 8.

8.1. Случайная величина Х - число попаданий мячом в корзину при трех бросках. Вероятность попадания при каждом броске равна P. Найти матема-тическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

8.2. Функция распределения случайной величины Х задана графиком

F(x)

x

^{0 a b}

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

8.3. Система состоит из 4-х дублирующих блоков, надежность каждого из которых равна P. Число блоков, отказавших за фиксированное время работы системы, есть случайная величина X. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.

8.4. Вероятность отказа определенного транзистора после оговоренного числа лет работы равна «р», а вероятность того, что он будет работать исправно после этого времени, равна . Проведена проверка n транзисторов. Построить ряд распределения числа неисправных транзисторов в партии для значений 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если n = 100, p = 0, 02. Вычислить математическое ожидание.

8.5. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной функцией распределения

8.6. Случайная величина Х, возможные значения которой неотрицательны, задана функцией распределения F(x) = . Найти математическое ожидание этой случайной величины.

8.7. Случайная величина X подчинена показательному закону с параметром :

Построить кривую распределения. Найти функцию распределения. Найти вероятность того, что случайная величина X примет меньшее значение, чем ее математическое ожидание.

8.8. Подлежат исследованию 1200 проб руды. Пусть вероятность про-мышленного содержания металла в каждой пробе равна 0, 9. Найти математическое ожидание и дисперсию числа проб с промышленным содержанием металла.

8.9. Функция распределения непрерывной случайной величины Х - времени безотказной работы некоторого устройства равна . Найти вероятность безотказной работы устройства за время

8.10. Математическое ожидание числа отказов радиоаппаратуры за 10000 ч. работы равно 10. Определить вероятность отказа радиоаппаратуры за 100 ч. работы. Предполагается, что отказы независимы и вероятность каждого отказа от опыта к опыту не изменяется.

8.11. Игральная кость бросается три раза. Записать закон распределения числа появлений шестерки.

8.12. Монета бросается три раза. Записать в виде таблицы закон распреде-ления случайной величины Х - числа выпадений герба.

8.13. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0, 07. Построить ряд распределения случайной величины Х - числа попаданий в мишень при двух выстрелах. Найти функцию распределения и построить ее график.

8.14. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х имеет вид:

Найти функцию распределения случайной величины Х и построить ее график.

Вычислить и . Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное между 2, 5 и 3, 5.

8.15. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на интерва-

ле (2; 3). Найти плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

8.16. Автомашина проходит технический осмотр и обслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время техосмотра, распределяется по закону Пуассона с параметром " а". Если неисправностей не обнаружено, техническое обслуживание машины продолжается в среднем 2 ч. Если обнаружены одна или две неисправности, то на устранение каждой из них тратится в среднем еще полчаса. Если обнаружено больше двух неисправностей, то машина ставится на профилактический ремонт, где она находится в среднем 4 ч. Определить закон распределения среднего времени обслуживания и ремонта машины и его математическое ожидание .

8.17. Случайная величина Х распределена равномерно с . Найти плотность распределения случайной величины Х.

8.18. На колышек одно за другим набрасывается 4 кольца, причем вероятность попадания для каждого броска одна и та же и равна 0, 8. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа колец, попавших на колышек, если броски независимы.

8.19. Вероятность того, что изделие не выдержит испытание, равна 0, 001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий более чем одно не выдержит испытание.

8.20. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид:

f(x)

A

_{0 1 3} x

1) Найти A и написать выражение плотности. 2) Найти и построить график функции распределения F(x). 3) Вычислить математическое ожидание и дисперсию.

8.21. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0, 2. Найти среднее число отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 10 деталей.

8.22. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при t 0 (t - время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.

8.23. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется 5 неисправных. Из партии выбрано 4 аппарата. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа неисправных аппаратов среди отобранных.

8.24. По известному " правилу трех сигм" вероятность отклонения случайной величины от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала. Найти если Х имеет: а) нормальное распре-

деление; б) показательное распределение.

8.25. По известному " правилу трех сигм" вероятность отклонения случайной величины от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала. Найти если Х имеет: а) нормальное распреде-ление, б) равномерное на отрезке

8.26. По известному " правилу трех сигм" вероятность отклонения случайной величины от своего математического ожидания более, чем на три корня из дисперсии мала. Найти если Х распределена: а) нормально;

б) по закону Пуассона с .

8.27. Для случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, вычислить , математическое ожидание и дисперсию, если параметр а = 0, 3; k = 2.

8.28. Все значения равномерно распределенной случайной величины лежат на отрезке . Найти вероятность попадания значений случайной величины в промежуток .

8.29. Трамваи данного маршрута городского трамвая идут с интервалом 5 мин. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но не позднее, чем за две минуты до отхода следующего поезда?

8.30. Определить постоянную вероятность попадания в цель при каждом выстреле и число произведенных выстрелов, если среднее число попаданий рав-

но 72, а среднее квадратическое отклонение случайной величины, характеризу-ющей число попаданий, равно 6.