Задача № 6.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

6.1. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может принимать только два значения: с вероятностью Р₁ = 0, 1 и , причем . Математическое ожидание М[X] = 5, 8, дисперсия D[X] = 0, 36.

6.2. Найти математическое ожидание суммы очков, выпадающих на двух игральных кубиках при одном бросании.

6.3. Случайная величина X - число попаданий мяча в корзину при одном броске. Вероятность попадания равна 0, 3. Найти математическое ожидание этой случайной величины, дисперсию, второй начальный момент и третий центральный момент.

6.4. Производится ряд выстрелов по мишени с вероятностью попадания 0, 8 при каждом выстреле, стрельба ведется до первого попадания в мишень, но не свыше четырех выстрелов. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа произведенных выстрелов. Построить функцию распределения, определить вероятность того, что число выстрелов до первого попадания будет не менее трех.

6.5. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: , а также даны математические ожидания этой случайной величины и ее квадрата . Найти вероятности P₁, P₂, P₃, соответствующие возможным значениям .

6.6. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется 5 неисправных. Из партии выбрано 4 аппарата. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа неисправных аппаратов среди отобранных. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число неисправных аппаратов среди отобранных будет не более двух.

6.7. Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженном технологическом процессе постоянна и равна 0, 1. Для проверки качества изготовляемых изделий отдел технического контроля берет из партии не более 4-х деталей. При обнаружении нестандартного изделия вся партия задерживается. Составить закон распределения числа изделий, проверяемых из каждой партии. Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

6.8. Случайная величина Х распределена по следующему закону:

Найти и .

6.9. Вероятность того, что стрелок попадает в мишень при одном выстреле, равна 0, 6. Стрелку последовательно выдаются патроны до тех пор, пока не промахнется, но не более 5 патронов. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа выданных патронов. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число выданных патронов будет не менее трех.

6.10. Испытуемый прибор состоит из трех малонадежных элементов. Отказы элементов за некоторое время Т независимы, а их вероятности равны соответственно Найти закон распределения, мате-матическое ожидание числа отказавших за время Т элементов. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число отказавших элементов будет не менее двух.

6.11. Производится набрасывание колец на колышек до первого попадания, либо до полного израсходования всех колец, число которых равно 5. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа брошенных колец,

если вероятность наброса каждого кольца равна 0, 2. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число брошенных колец не менее четырех.

6.12. Число -частиц, достигающих счетчика в некотором опыте, является случайной величиной, распределенной по следующему закону:

Найти математическое ожидание и дисперсию числа частиц, достигающих счетчика. Найти вероятность того, что число частиц, достигающих счетчика, будет не меньше четырех.

6.13. Экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос, равна 0, 9. Преподаватель прекращает экзамен, как только студент обнаружит незнание заданного вопроса. Требуется: а) составить закон распределения дискретной случайной величины Х -числа дополнительных вопросов, которые задает преподаватель студенту; б) най-

ти наивероятнейшее число заданных дополнительных вопросов.

6.14. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: с вероятностью P₁ = 0, 5, x₂ = 6 с вероятностью P₃ = 0, 3 и x₃ с вероятностью P₃. Найти x₃ и P₃, зная, что М[X] = 8.

6.15. Рассматривая неслучайную величину " a", как частный вид случайной, построить для нее функцию распределения, найти ее математическое ожидание, дисперсию и третий начальный момент.

6.16. Вычислительное устройство состоит из трех независимо функциони-рующих блоков. Вероятность безотказной работы первого блока равняется 0, 8, второго 0, 7 и третьего 0, 6. Найти математические ожидания:

а) числа исправных блоков; б) числа неисправных блоков.

6.17. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из них либо разрешает, либо запрещает движение с вероятностью 0, 5. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа пройденных автомашиной светофоров до первой остановки. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число пройденных светофоров будет не менее двух.

6.18. Мишень состоит из круга и кольца. Попадание в круг дает 10 очков, а попадание в кольцо 5 очков. Вероятность попадания в круг и кольцо соответственно равны 0, 6 и 0, 4. Построить закон распределения для случайной суммы выбитых очков в результате двух попаданий.

6.19. На полке 10 книг, причем 3 из них в переплете. Библиотекарь взял наудачу 2 книги. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х - числа отобранных книг в переплете.

6.20. В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Составить закон распределения случайной величины Х - числа окрашенных деталей среди трех извлеченных. Найти функцию распределения и построить ее график.

6.21. Два стрелка стреляют каждый по своей мишени, делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка Р₁, для второго Р₂. Рассматриваются две случайные величины: Х₁ - число попаданий первого стрелка, Х₂ - число попаданий второго стрелка и их разность Z = X₁ – X₂ . Построить ряд распределения случайной величины Z и найти ее характеристики: m_z, D_{z .}

6.22. Производится ряд попыток включить двигатель. Каждая попытка заканчивается успехом (включением двигателя) независимо от других с вероятностью P = 0, 6. Каждая попытка занимает время t. Найти распределение общего времени T, которое потребуется для запуска двигателя, его математическое ожидание и дисперсию.

6.23. Распределение дискретной случайной величины X есть

Х 1 3 5 7 9

Р 0, 1 0, 2 0, 3 0, 3 0, 1

Найти распределение случайной величины

6.24. В шестиламповом радиоприемнике (все лампы различные) перегорела одна лампа. С целью устранения неисправности наудачу выбранную лампу заменяют заведомо годной из запасного комплекта, после чего сразу проверяется работа приемника. Составить закон распределения числа замен ламп.

6.25. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа попыток при открывании замка, если испробованный ключ в последующих попытках: а) не участвует; б) участвует.

6.26. В лотерее разыгрывается мотоцикл стоимостью 250 р., велосипед стоимостью 50 р. и часы за 40 р. Найти математическое ожидание выигрыша для лица, имеющего: а) 1 билет; б) 2 билета, если общее число билетов равно 100.

6.27. Из ящика, содержащего 2 белых и 4 черных шара, вынимают 3 шара и перекладывают в другой ящик, где имелось 5 белых шаров. Найти математическое ожидание числа белых шаров Х₁ и Х₂ в обоих ящиках.

6.28. В урне 4 белых и 5 черных шаров. Из урны наудачу один за другим без возвращения извлекают шары до тех пор, пока не появится черный шар. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа появившихся при извлечении белых шаров. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число белых шаров будет не менее трех.

6.29. В партии из 7 деталей имеется 5 деталей первого сорта. Наудачу отобраны 3 детали. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа деталей первого сорта среди отобранных. Определить вероятность того, что число деталей первого сорта будет не менее двух.

6.30. Вероятность попадания в цель из орудия при первом выстреле равна 0, 1, при втором выстреле равна 0, 4, при третьем - 0, 7. Предполагается произвести три выстрела. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа попаданий в цель. Построить функцию распределения. Определить вероятность того, что число попаданий не менее трех.