Порошковых материалов. Для решения конкретных краевых задач пластического деформирования система разрешающих уравнений дополняется граничными и начальными условиями.

Для решения конкретных краевых задач пластического деформирования система разрешающих уравнений дополняется граничными и начальными условиями.

Начальные условия для несплошных тел формулируются в виде задания величины и закона распределения начальной плотности по объему тела. В случае инертных порошков задание начальной плотности не представляет особых проблем. Для материалов, получаемых методом СВС-прессования, достаточно точно могут быть определены плотность и геометрические размеры исходных шихтовых заготовок. Процесс горения сопровождается изменением плотности и объема конденсированной фазы при химических реакциях; изменением агрегатного состояния при температуре синтеза; примесным газовыделением; твердо- и жидкофазным спеканием продуктов СВС и т.д. [118, 215]. Одни из этих процессов приводят к уплотнению, другие – к разуплотнению продуктов синтеза. Вместе с тем в ряде работ [50, 51, 290], в которых исследованы закономерности уплотнения при СВС-прессовании, этот фактор не учитывается и за начальную плотность продуктов синтеза принимается плотность шихтовой заготовки. Точная количественная оценка закономерностей процессов уплотнения-разуплотнения в синтезируемом материале может быть получена только при совместном решении соответствующих физико-химических задач и представляет собой самостоятельную проблему. В этой связи для оценки начальной плотности продуктов синтеза необходимо разработать приближенную физическую модель, но достаточно точно описывающую изменение макроструктурных свойств в термореагирующих системах.

Граничные условия, характеризующие условия взаимодействия поверхностей инструмента и обрабатываемых тел, могут формулироваться в кинематических переменных, в напряжениях и быть смешанными [68]. Наибольшие сложности возникают при решении задач со смешанными граничными условиями, когда на границах тел действуют силы трения. Физические явления, происходящие в процессе взаимного скольжения контактирующих поверхностей, сложны и изучены еще недостаточно, поэтому для решения краевых задач теории пластичности используются феноменологические законы трения с упрощенными зависимостями [73, 222]. При малых нормальных давлениях справедлив закон трения Кулона (t = f _тр × s_n), при больших нормальных давлениях – закон трения Прандтля (t = t_s). Эти законы устанавливают связь между касательным напряжениям t и нормальным давлением s_n на контакте или пределом текучести материала на сдвиг t_s. При строгой математической постановке и решении задачи необходимо учитывать зависимость коэффициента трения Кулона f _тр и предела текучести t_s от плотности деформируемого материала. Простейшие зависимости трибологических характеристик от плотности для пористых тел рассмотрены в работе [44].

В теории обработки давлением несжимаемых тел используют модель идеально пластического тела и закон трения Прандтля с известной величиной предела текучести на сдвиг t_s. Это позволяет использовать численные методы, основанные на экстремальных принципах. Предел текучести на сдвиг t_s несплошных тел является неизвестной величиной, так как функционально связан со средним давлением через условие пластичности (1.1). Указанную неопределенность снимают за счет того, что вместо предела текучести на сдвиг рассматривают предел текучести на чистый сдвиг [44].

Согласно выводам работы [44] для закона трения Кулона экстремальные теоремы не имеют силы и невозможно использовать соответствующие высокоэффективные численные методы решения краевых задач. Действительно, нормальное давление s_n, входящее в закон трения Кулона, является неизвестной величиной и подлежит определению в ходе решения краевой задачи, поэтому контактные задачи с трением Кулона по поверхности соприкосновения должны решаться итерационным методом [22, 86]. В этом случае в каждом цикле итерационного процесса выполняются экстремальные теоремы и можно использовать соответствующие численные методы [92].

Важной проблемой математического моделирования является выбор метода решения задачи. Выбор метода решения определяется требованиями, предъявляемыми к решению, и теми ограничениями и допущениями, которые были приняты при формулировке физической и математической моделей. Чем выше требования, особенно к кинематике пластического течения, тем более строгие методы приходится применять. В теории пластичности сжимаемых сред для решения краевых задач используются все известные методы теории пластичности несжимаемых тел [98].

Задача об осесимметричном прессовании в жесткой матрице, которая по схеме деформирования наиболее близка к СВС-прессованию, решалась методом характеристик [141, 166], методом тонких сечений [99, 279], методом Фурье [56], методом малого параметра [214], прямым вариационным методом [10], энергетическим методом верхней оценки [31, 60, 61, 108], методом последовательных приближений по силам трения Кулона [193] и методом конечных элементов [142].

Рассмотренные выше методы, кроме метода конечных элементов, основаны на интегрировании систем дифференциальных уравнений пластического течения и использовались в задаче о прессовании однородного материала. Они не могут напрямую применяться для решения задачи СВС-прессования, когда пластически деформируется структурно-неоднородное тело, состоящее из порошкообразной оболочки и пористого вязкого включения. Так, метод характеристик или линий скольжения [141, 166] применим только для пластических тел с пороговым механизмом течения, а при СВС-прессовании одно из деформируемых тел представляет собой вязкий материал. Далее, неоднородность реологических свойств в деформируемых объектах и без учета сил трения обуславливает неоднородное напряженно-деформированное состояние оболочки и продуктов СВС. Соответственно недопустимо использовать гипотезу об однородном опорном решении и методы решения работ [193, 214], а также допущение о постоянстве отношения радиального и осевого напряжений, принятое в работе [56].

Строгие решения вариационных задач наталкиваются на ограничения математического характера, поэтому приходится выбирать достаточно простое кинематически возможное поле скоростей с малым числом варьируемых параметров [31, 60, 61, 108]. Выбор вида варьируемых функций скорости перемещения от координат выполняется без удовлетворения уравнениям равновесия, и решение, полученное вариационным методом, не позволяет установить распределение напряжений.

Наиболее полную информацию о закономерностях пластического деформирования можно получить из решения задачи численными методами. В механике сплошных сред наибольшее распространение получили метод конечных разностей, метод конечных элементов и метод граничных интегральных уравнений. В настоящее время самым распространенным численным методом является метод конечных элементов (МКЭ). По сравнению с другими численными методами МКЭ характеризуется легкостью алгоритмизации, инвариантностью алгоритма по отношению к классу рассчитываемого объекта, возможностью получения решения для неоднородных по свойствам объектов, простотой реализации любых граничных условий и т.д. Идеи метода конечных элементов, его математическое обоснование и приложение к различным задачам механики деформируемого твердого тела и теплопередачи достаточно подробно изложены в многочисленных монографиях [53, 65, 123, 130, 152, 171, 196, 227]. МКЭ наиболее подходит для решения технологических задач обработки давлением пористых материалов, так как позволяет прогнозировать формоизменение пористой заготовки и распределение плотности и напряжений по ее объему. Отметим, что методом конечных элементов решен ряд краевых задач пластического деформирования пористых и порошковых материалов [20, 42, 124, 142, 174, 201, 220, 271, 273].