ПЗ.7. Числовые характеристики распределения вероятностей.

Числовые характеристики распределения случайной величины подразделяются на характеристики положения, определяющие характерные значения случайной величины, и характеристики рассеяния. Из характеристик положения наиболее интересным для нас является среднее значение дискретной случайной величины, формируемое через распределение её вероятностей аналогично среднему арифметическому. Оно задаётся следующим определением: математическим ожиданием (или средним значением) МХ дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех её возможных значений x_i на их вероятности p_i:

. (П.3.18)

Аналогично, математическим ожиданием (или средним значением) МХ непрерывной случайной величины Х называется интеграл от произведения её значений х на плотность распределения вероятностей p(x):

. (П.3.19)

где α, β – соответственно начальное и конечное значения Х на интервале (α, β), на котором сосредоточены все возможные значения величины Х.

Аналогия формул (П.3.18) и (П.3.19) становится очевидной, если принять во внимание, что здесь элемент вероятности p(x)dx аналогичен вероятности p_i, а интеграл (П.3.19) – это сумма бесконечно малых слагаемых x*p(x)*dx.

Соответственно математическое ожидание функции Y = f(x) от случайной величины Х выражается через закон распределения самой величины Х:

а) для дискретной величины Х –

; (П.3.20)

б) для непрерывной величины Х –

. (П.3.21)

Математическое ожидание называют также центром распределения случайной величины, так как её рассеяние определяется относительно математического ожидания.

Основные свойства математических ожиданий:

1) постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

MCX=CMX;

2) математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

;

3) математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

Важнейшими числовыми характеристиками рассеяния случайной величины являются дисперсия и среднеквадратическое отклонение, определяемое по формуле:

, (П.3.22)

где a – математическое ожидание (среднее значение) случайной величины Х;

M(X-a)² – среднее значение квадрата отклонения Х от среднего значения a.

Подкоренное выражение в формуле (П.3.22) часто употребляется самостоятельно, поэтому оно получило название дисперсии случайной величины Х:

. (П.3.23)

Выражение (П.3.23) можно также записать в виде:

.

Согласно соотношению (П.3.20) дисперсия дискретной величины равна:

, (П.3.24)

а согласно соотношению (П.3.21) дисперсия непрерывной величины равна:

, (П.3.25)

где α и β – крайние точки интервала существования Х.

Основные свойства характеристик рассеяния:

1) у линейной функции случайной величины Х:

,

дисперсия увеличивается в k₂ раз, а среднеквадратическое отклонение – в раз;

2) если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:

,

соответственно:

.

В частности, дисперсия среднего арифметического n случайных величин, имеющих одинаковую дисперсию, составляет δ ²/n, так что среднеквадратическое отклонение в этом случае равно:

. (П.3.26)

При испытаниях, заключающихся в проверке наличия или отсутствия какого-либо признака и ведущих к биноминальному распределению (см. вопрос П.3.4), наличие признака можно обозначить как х = 1, а его отсутствие – как х = 0. Если вероятность наличия признака равна p, то математическое ожидание при биноминальном распределении окажется равным согласно (П.3.18):

.

Обозначив вероятность отсутствия признака через q и исходя из соотношения (П.3.24), получим в случае однократной проверки наличия признака дисперсию:

.

В общем случае биноминального распределения (когда производится n -кратная выборка) получим:

. (П.3.27)

Если имеется простейший поток событий, ведущий к распределению Пуассона (формула П.3.15), то его математическое ожидание можно вывести непосредственно из формулы (П.3.18), полагая, что Х = m, m ≥ 0. Получим:

.

Если a = λ t при λ = const, то a – это среднее число событий простейшего потока, наступающих за заданное время t и приходящихся на один наблюдаемый объект. Аналогичными рассуждениями можно показать, что дисперсия распределения Пуассона совпадает с его математическим ожиданием: .