ПЗ.8. Непрерывные законы распределения и их числовые характеристики.

Обратимся, прежде всего, к показательному распределению, которое мы уже начали обсуждать (см. формулу (П.3.14) в вопросе П.3.5) при рассмотрении распределения Пуассона, оценивающего вероятности событий, происходящих в простейшем потоке событий. Эти события происходят дискретно, но промежуток времени Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке можно считать непрерывной величиной. Возникает задача определения вероятности того, что значение T < t, где t – время, прошедшее после предыдущего события (t > 0). Из соотношения (П.3.14) следует, что эта вероятность равна:

, (П.3.28)

где λ – параметр потока (см. формулу П.3.12).

Функцию (П.3.28) называют функцией показательного распределения вероятностей. Если интересующие нас события являются отказами оборудования, то P(T < 1), представленную соотношением (П.3.28), находим плотность распределения вероятностей величины Т:

. (П.3.29)

Математическое ожидание величины Т можно вычислить непосредственно по формуле (П.3.21):

. (П.3.30)

Если нас интересуют отказы оборудования, то формула (П.3.30) даёт среднюю наработку до отказа при условии, что λ – это удельная частота простейшего потока отказов.

Дисперсия показательного распределения согласно соотношению (П.3.23) равна:

. (П.3.31)

Следовательно, среднеквадратичное отклонение при показательном распределении равно математическому ожиданию.

Другим важнейшим законом распределения вероятностей является нормальный закон распределения, при котором плотность распределения случайной величины Х рассчитывается по формуле:

, (П.3.32)

где σ – среднеквадратичное отклонение;

a – центр распределения (математическое ожидание).

После подстановки значений:

соотношение (П.3.32) примет вид стандартного нормального распределения с параметрами a = 0 и σ = 1:

. (П.3.33)

Чтобы найти функцию нормального распределения, необходимо взять интеграл от φ (u). Поскольку он не выражается через элементарные функции, то в расчётах, связанных с нормальным распределением, используются таблицы кратной данному интегралу функции:

, (П.3.34)

называемой интегралом вероятностей (табл.П.3.1). Ввиду нечёткости функции Ф(u) имеет место Ф(-u) = -Ф(u), что облегчает составление справочных таблиц. Согласно (П.3.34) вероятность попадания случайной величины U в любой интервал (u₁, u₂) составляет:

, (П.3.35)

причём значения u вычисляются в соответствии с заданными пределами изменения исходной случайной величины Х:

.

Таблица П.3.1

Интеграл вероятностей

Примечание. В столбцах 3. 6 и 9 приведены разности между приведёнными в строках значениями функции Ф(u). Они приведены для облегчения интерполяции. При линейной интерполяции ошибка не превышает 0, 0002 в интервале 0, 4 < u < 1, 8 и 0, 0001 в остальной части таблицы. Ошибка при расчёте вероятностей в целом не превышает 0, 0004.

Нормальный закон распределения характерен для процессов, в которых разброс параметров вызывается действием большого количества факторов, воздействие каждого из которых в отдельности трудно учесть ввиду его незначительности. Нормальное распределение характерно для распределения случайных ошибок измерений, разброса параметров производимой продукции и для многих других процессов производственного и непроизводственного характера. В частности, при испытаниях по схеме Бернулли, ведущих к биноминальному распределению (см. вопрос П.3.4), биноминальное распределение стремится к нормальному с увеличением числа испытаний n. Это позволяет в практических расчётах, в том числе в расчётах надёжности, применять формулы нормального распределения и тем значительно упростить расчёты.