Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса

Теорема 5.2. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:

(5.6)

и

, (5.7)

и пусть и – матрицы билинейной формы в базисах (5.6) и (5.7) соответственно. Тогда

, (5.8)

где Т – матрица перехода от (5.6) к (5.7).

► Воспользуемся определением билинейной формы и ее матрицы, а также определением матрицы перехода:

. (5.9)

Заметим, что в правой части равенства (5.9) индекс должен соответствовать номеру строки, а индекс – номеру столбца (по согласованию с левой частью), поэтому из (5.9) и вытекает равенство (5.8).◄

Следствие. Если матрица билинейной формы в одном из базисов пространства невырождена, то в любом другом базисе матрица этой билинейной формы также невырождена.

Определение. Билинейная форма на линейном пространстве называется невырожденной, если ее матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства невырождена.

Определение. Квадратные матрицы и называются конгруэнтными, если они связаны соотношением (5.8), где – невырожденная матрица.

Таким образом, матрицы одной и той же билинейной формы в различных базисах конгруэнтны.