Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Как продвинуть сайт на первые места?
    Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.
    Ускорение продвижения
    Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.
    Начать продвижение сайта
  • Определение билинейной формы и ее различные формы записи






    ГЛАВА 5. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

    Билинейные формы

    Определение билинейной формы и ее различные формы записи

     

    Определение. Билинейной формой на линейном пространстве над полем называется функция двух векторных аргументов, принимающая значения из поля , линейная по каждому из своих аргументов, т. е. удовлетворяющая следующим условиям.

    1*. : ;

    2*. : ;

    3*. : ;

    4*. : .

    Рассмотрим n -мерное линейное пространство и выберем в нем какой-либо базис:

    (5.1)

    Каждый вектор пространства можно разложить по этому базису: . Тогда

    . (5.2)

    Из (5.2) видно, что значение билинейной формыдля любых двух векторов и выражается через координаты этих векторов и некоторые числа , которые с аргументами и не связаны, а зависят только от выбранного базиса. Обозначим

    . (5.3)

    Из (5.2) вытекает

    . (5.4)

    Равенство (5.4) называется координатной формой записи билинейной формы.

    Определение. Матрицей билинейной формы в базисе (5.1) называется матрица , где .

    Обозначим, как обычно,

    ,

    координатные столбцы векторов и соответственно в заданном базисе. Заметим, что – число, которое можно рассматривать как матрицу размеров . В таком случае (5.4) можно переписать и так: , откуда получаем

    . (5.5)

    Это равенство называется матричной формой записи билинейной формы.

    Итак, если в задан базис, то каждой билинейной форме на линейном пространстве соответствует единственная матрица В – матрица этой билинейной формы в заданном базисе. Докажем, что верно и обратное утверждение.

    Теорема 5.1. Пусть в линейном пространстве задан какой-либо базис (5.1). Тогда для любой квадратной матрицы , на линейном пространстве существует единственная билинейная форма , матрица которой в заданном базисе совпадает с В, т. е. такая, для которой выполняется условие 5.3).

    Построение. Положим по определению:

    Линейность.

    :

    ;

    .

    Таким образом, линейность по первому аргументу доказана. Аналогично проверяется линейность и по второму аргументу.

    Выполнение условия (5.3). Так как (т. е. i -я координата вектора равна , а j- я координата вектора ), то .

    Единственность. Предположим, что существует еще одна билинейная форма , не совпадающая с формой , для которой выполняется (5.3). Тогда

    ,

    и мы пришли к противоречию.◄

    Таким образом, если в задан какой-либо базис, то между множеством билинейных форм на линейном пространстве и множеством квадратных матриц n -го порядка с элементами из поля Р устанавливается

    взаимно однозначное соответствие.






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.