Работа № 2.2

Оптимизация объекта методом симплекс-планирования эксперимента

Симплексом называется геометрическая фигура, число вершин которой на единицу больше размерности пространства. При размерности факторного пространства n число вершин симплекса n+1. Пусть n =2, тогда симплекс в двумерном пространстве имеет вид треугольника с радиусом R описанной окружности и радиусом r вписанной окружности (рис.2.2.1).

Рис. 2.2.1.

Симплекс является регулярным, если все его вершины одинаково удалены друг от друга и нерегулярным в противном случае.

Рассмотрим идею метода поиска экстремума с использованием симплекс-планирования эксперимента при числе основных факторов n =2. Предположим, что поверхность отклика имеет вид, показанный на рис.2.2.2.

Рис.2.2.2.

Относительно какого-либо центра эксперимента строим симплекс, в вершинах которого ставим исходную серию опытов 1, 2, 3. Анализируем полученные результаты и отбрасываем точку с наихудшим значением параметра оптимизации, например, точку 3.Строим её зеркальное отображение и ставим опыт в новой точке, например в точке 4. Вновь анализируем результаты опытов уже в точках 1, 2, 4 с учетом нового опыта. Опять отбрасываем точку с наихудшим результатом и т.д. Процедура поиска повторяется до тех пор, пока не приблизимся к оптимальному решению, например, в точке 8.

Для построения исходного симплекса используется матрица, которая имеет вид таблицы 2.2.1.

Элементы матрицы определяют по формулам:

i= 1, …n; (2.2.1)

Таблица 2.2.1

Тогда симплекс будет иметь радиус описанной сферы равный единице. Значения уровней факторов в табл. 2.1.1 - в нормализованных единицах. Для перехода к натуральным значениям факторов в опытах необходимо выбрать для каждого i -го фактора интервал варьирования DX_i. С одной стороны, он должен быть достаточно мал, так как от него зависит точность поиска, а с другой стороны, он должен быть достаточно велик, чтобы можно было выделить полезный сигнал на фоне случайных помех.

Для того, чтобы перейти к матрице опытов для натуральных значений факторов, необходимо поступить следующим образом: каждый столбец полученной матрицы умножается на интервал варьирования своего фактора DX_i и полученное значение складывается (или вычитается) с центром эксперимента для каждого фактора X_0i. Центром эксперимента для каждого фактора является значение фактора, с которого мы начали поиск оптимальных условий.

Пусть в результате анализа исходной серии опытов оказалось, что в одном из них значение критерия оптимизации наихудшее Y_u^н.

Координаты входных факторов в этой точке X₁^н, ……X_n^н. Координаты новой (зеркальной) точки, в которой следует ставить опыт, могут быть определены для каждого фактора по следующей формуле:

; i=1, …..n (2.2.3)

где – координата зеркальной точки;

– среднее из координат всех точек симплекса, кроме наихудшей;

– координата наихудшей точки.

В матрицу 2.2.1 добавляется (n+2) -я строка, а наихудшая строка вычеркивается. Далее процедура повторяется. При приближении к оптимуму могут быть колебания или зацикливание симплекса.

Колебания симплекса наиболее часты в том случае, когда поверхность отклика имеет вид " гребня или оврага". Они заключаются в том, что после постановки опыта в зеркальной точке значение Y в ней оказывается наихудшим и мы возвратимся в уже отброшенную точку (рис.2.2.3). Для преодоления колебаний симплекса отбрасывают вторую по значимости плохую точку.

Nbsp; Рис. 2.2.3. Рис. 2.2.4.

Вблизи оптимума может иметь место зацикливание симплекса

(рис.2.2.4).

Центр цикла Y* можно считать оптимальным решением. Обычно рекомендуется движение вокруг одной вершины прекращать, если эта вершина симплекса (строчка матрицы) сохраняется в течение N шагов.

(2.2.2)

При наличии ограничений на каждом шаге проверяют их выполнение. Если в зеркальной точке ограничение не выполняется, то отбрасывают следующую по значимости наихудшую точку и проверяют ограничения в соответствующей зеркальной точке и т.д. Опыт ставят в такой вершине симплекса, где все ограничения выполняются.

Порядок работы

1. Построить план исходной серии опытов в нормализованном масштабе для 3-х факторов согласно табл. 2.2.1. Элементы матрицы рассчитать по формулам, приведенным выше.

2. Выбрать координаты начальной точки X₁(0), X₂(0), X₃(0).

Выбрать интервалы варьирования факторов DX₁; D X₂; D X₃.

3. Перейти к плану исходной серии опытов в натуральном масштабе. Вычисление уровней факторов производится по формуле:

X_i=x_iDX_i+X_oi; i=1, 2, 3.

Результаты вычислений занести в таблицу 2.2.2.

Таблица 2.2.2

4. В каждом u -ом опыте произвести одно или несколько измерений величины Y, рассчитать для каждого опыта среднюю арифметическую `Y_u. Результаты занести в табл. 2.2.2.

5. Выбрать наихудший опыт, в котором `Y ` наименьшее. Рассчитать координаты " зеркальной точки" по формулам, приведенным выше.

Занести их в таблицу новой строкой. Строку, соответствующую наихудшему опыту, вычеркнуть.

6. Произвести опыт в новой точке и повторить процедуру по пункту 5.

7. Опыты продолжать до тех пор, пока не произойдет " зацикливание" симплекса. При этом, согласно формуле для N в течении N шагов в таблице 2.2.2 какая-то строчка останется невычеркнутой. Она и будет соответствовать оптимальному решению. Выписать X* и ` Y_max.

8. При колебаниях симплекса рекомендуется вместо " наихудшего" опыта отбросить следующий по значимости (самый близкий к наихудшему).