Оценка точности прямой угловой засечки

Для выполнения оценки точности запроектированной прямой угловой засечки (рис. 4.67) необходимо вычислить матрицу весовых коэффициентов определяемых параметров (по аналогии с матрицей весовых коэффициентов, которая составлялась для плановых геодезических построений)

(4.83)

Матрица параметрических уравнений поправок А для прямой угловой засечки на основании формул параметрического уравнения для разбивочного угла применительно к рис. 4.67 имеет следующий вид:

. (4.84)

Коэффициенты матрицы А вычисляются по формулам:

(4.85)

Матрица весов результатов измерений Р в формуле (4.83) для прямой угловой засечки составляется в следующем виде:

(4.86)

Диагональные элементы матрицы Р на основании принятого условия равенства средней квадратической ошибки единицы веса (μ) и СКО угловых измерений вычисляются по формуле

(4.87)

В результате условия (4.87) матрица Р превращается в единичную матрицу Е, которая по правилам линейной алгебры может быть исключена из матричного уравнения (4.83), которое в результате решения образует матрицу обратных весов

(4.88)

Используя диагональные элементы этой матрицы, СКО положения разбиваемой точки 5 вычисляется по следующим формулам

(4.89)

На основании принятого условия равенства СКО единицы веса и СКО угловых измерений, заменяя СКО положения разбиваемой точки 5 на нормативный допуск (взятый например из табл. 4.30), получаем формулу, позволяющую вычислить необходимую точность отложения углов в запроектированной угловой засечке

(4.90)

Предположим, например, что расположение исходных и определяемых пунктов в запроектированной прямой угловой засечке (см. рис. 4.67) полностью соответствует фрагменту городской триангуляции, изображенной на рис. 4.6. Для этого варианта на основании таблицы для вычисления коэффициентов матрица параметрических уравнений поправок А будет иметь следующий численный вид:

(4.91)

При единичной матрице весов результатов измерений (4.86) решение матричного уравнения (4.83) приведет к матрице обратных весов координат следующего вида:

Подставляя значения весовых коэффициентов разбиваемого межевого знака 5 в формулу (4.90) и беря, например, значение нормативного допуска m_A = 10 см, получим следующее численное значение:

Следовательно, необходимая точность отложения углов в запроектированной прямой угловой засечке должна быть не грубее 33". Для выбора геодезических инструментов воспользуемся данными, приведенными в табл. 4.17. На основании этих данных типовая технология выполнения геодезических разбивочных работ должна соответствовать программе измерения углов в теодолитном ходе.

Аналогичные вычисления можно выполнить и с использованием приближенной формулы для оценки точности запроектированной прямой угловой засечки, которая для данного варианта (два симметричных треугольника с одинаковыми длинами линий и одинаковыми углами засечки) имеет следующий вид:

(4.92)

где g – угол при разбиваемой точке между направлениями на исходные пункты в треугольнике прямой угловой засечки;

L₁ и L₂ – длины линий от разбиваемой точки до исходных пунктов.

Отметим, что погрешность применения приближенной формулы составляет 12 %. Однако при такой, незначительной, на первый взгляд, погрешности, типовая технология, которую необходимо использовать при разбивке точки прямой угловой засечкой, должна соответствовать 2-му разряду. Следовательно, при проектировании наиболее ответственных фигур разбивки необходимо использовать только строгие формулы для оценки точности геодезических фигур разбивки.