Задача №23

а) Взяти пряму m в фронтально-проекціювальну площину;

б) Взяти пряму h в горизонтальну площину;

в) Взяти пряму l в горизонтально-проекціювальну площину.

а) б) в)

1.4 Контрольний тест до інформаційного модуля 1

1. Скільки і які координати визначають положення точки відносно системи площин проекцій Π ₁, Π ₂, Π ₃?

а) три (координати по вісі абсцис, ординат, аплікат);

б) дві (координати по вісі абсцис і ординат);

в) одна (координата по вісі аплікат).

2. Скільки і які проекції точки визначають її положення відносно системи площин проекцій Π ₁, Π ₂, Π ₃?

а) три (горизонтальна, фронтальна і профільна);

б) дві (горизонтальна і фронтальна);

в) дві (фронтальна і профільна);

г) одна (горизонтальна).

3. Які точки називають конкуруючими відносно площини проекцій Π ₁?

а) точки А і В;

б) точки В і С;

в) точки А і С.

4. Які координати точки дорівнюють нулю, якщо вона належить площині Π ₃?

а) координата по вісі абсцис OX;

б) координата по вісі ординат OY;

в) координата по вісі аплікат OZ.

5. Де знаходиться фронтальна проекція точки, яка належить до вісі ОХ?

а) на вісі абсцис ОХ;

б) на фронтальній площині проекцій Π ₂;

в) на вісі аплікат OZ.

6. Які з названих точок А(20; 20; 0); В(50; 20; 30); С(0; 20; 30) рівновіддаленні від площини проекцій Π ₁?

а) точки А і В; б) точки А і С; в) точки В і С.

7. Які координати визначають горизонтальну проекцію точки?

а) координати по вісі абсцис ОХ, ординат OY, аплікат OZ;

б) координати по вісі абсцис ОХ і ординат OY;

в) координата по вісі аплікат OZ;

г) координата по вісі аплікат OZ і абсцис ОХ.

8. В якому октанті знаходиться точка А (20; -5; -10)?

а) в першому; б) в другому; в) в третьому; г) в четвертому.

9. Вкажіть, яке положення займає відрізок АВ:

а) загальне положення;

б) горизонтальне положення;

в) фронтальне положення.

10. Яке положення займає пряма h:

а) фронтально-проекціювальне;

б) горизонтально-проекціювальне;

в) горизонтальне.

11. Яке положення займає пряма m:

а) профільно-проекціювальне;

б) фронтальне;

в) горизонтальне.

12. Яку назву має точка А для відрізка АВ:

а) профільний слід;

б) фронтальний слід;

в) горизонтальний слід.

13. Яке взаємне положення займають прямі h і m:

а) положення паралельних прямих;

б) положення прямих, що перетинаються;

в) положення мимобіжних прямих.

а) б) в) г) д)

14. На якому рисунку задана фронтально-проекціювальна площина?

15. На якому рисунку задана горизонтальна площина?

16. На якому рисунку площина загального положення задана чотирикутним відсіком?

17. На якому рисунку площина загального положення задана слідами?

18. На якому рисунку задана точка К, яка належить площині?

19. На якому рисунку задана пряма, яка належить площині загального положення?

ІНФОРМАЦІЙНИЙ МОДУЛЬ 2

ПОЗИЦІЙНІ ЗАДАЧІ НА ПРЯМОКУТНИХ ПРОЕКЦІЯХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБ’ЄКТІВ

2.1 Взаємне положення площин. Перша позиційна задача

Дві площини у просторі можуть перетинатися або бути паралельні.

Ознака паралельності площин: якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються, другої площини, то площини паралельні між собою (рис.2.1).

Символьний запис:

(a || m; b || n) → α (a ∩ b) || β (m ∩ n)

Рисунок 2.1 – Приклад паралельних площин

Перша позиційна задача – задача пошуку лінії перетину двох площин. Основні випадки:

· обидві площини займають окреме положення;

· одна з площин займає окреме положення, а друга – загальне положення;

· обидві площини займають загальне положення.

В першому випадку побудова проста, оскільки проекції лінії перетину або збігаються із слідами площин або паралельні їм.

В другому випадку, якщо одна з площин займає окреме положення, то одна з проекцій лінії перетину збігається зі слідом цієї площини, а інша проекція лінії перетину визначається за умови належності до площини загального положення (рис.2.2, 2.3).

а) б)

Рисунок 2.2 – Приклад перетину горизонтальної площини α з площиною β, що задана трикутником

а) б)

Рисунок 2.3 – Приклад перетину горизонтальною площиною площини загального положення, що задана слідами

В третьому випадку для пошуку проекцій лінії перетину необхідно застосувати такий алгоритм (рис.2.4, 2.5).

Алгоритм розв’язування першої позиційної задачі:

1. Вводимо допоміжну площину окремого положення (α (α ₂)).

2. Знаходимо лінію перетину введеної допоміжної площини з кожною із заданих площин (α ∩ β → ℓ; α ∩ γ → m).

3. Знаходимо точку перетину ліній, що отримані в п.2 (ℓ ∩ m → К(К₁).

4. Визначаємо іншу проекцію знайденої точки К(К₂).

5. Повторюємо пп. 1-4 для другої допоміжної площини (σ (σ ₂)).

6. З’єднуємо отримані точки (КN (К₁N₁, К₂N₂).

Рисунок 2.4 – Приклад побудови лінії перетину площин загального положення (пункти 1 – 4 алгоритму)

Рисунок 2.4 – Приклад побудови лінії перетину площин загального положення (пункти 1 – 6 алгоритму)

2.2 Взаємне положення прямої і площини. Друга позиційна задача.

Пряма у просторі може належити до площини, бути її параллельною або перетинати. Належність прямої до площини розглянуто в п.1.3.

Умова паралельності прямої та площини: якщо пряма параллельна будь-якій прямій площини, то вона параллельна всій площині (рис.2.6). Символьний запис: m║ a → m║ α (a∩ b).

а) б)

Рисунок 2.6 – Приклад паралельності прямої площині

Побудова проекцій точки перетину прямої та площини – друга позиційна задача. Для її розв’язування використовують такий алгоритм (рис. 2.7, 2.8).

1. Вводимо таку допоміжну площину, щоб вона займала проекціювальне положення і проходила через задану пряму (ℓ β).

2. Знаходимо лінію перетину допоміжної площини із заданною площиною (β ∩ α → a).

3. Визначаємо точку перетину отриманої лінії та однієї з проекцій заданої прямої (ℓ ∩ a → K).

4. Знаходимо іншу проекцію точки (K).

5. Визначаємо видимість прямої.

Рисунок 2.7 – Перетин прямої та площини (наочне зображення)

Рисунок 2.8 – Перетин прямої та площини (проекційне креслення)

Задачі для самостійного розв’язування