Позиционные системы счисления. Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число

ü Системы счисления, в которых значение каждой цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа называются позиционными системами счисления.

Например: число 555 цифра 5 встречается трижды, причём самая правая обозначает пять единиц, вторая – пять десятков и, наконец, третья – пять сотен.

ü Позиция цифры в числе называется разрядом.

Каждая позиционная СС имеет определенный алфавит цифр и основание.

ü Основание позиционной системы счисления (q) - это количество цифр (знаков) в ее алфавите.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления:

· простота выполнения арифметических операций;

· ограниченное количество символов (цифр) для записи любых чисел.

Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число, не меньшее 2. Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и так далее).

Система счисления Основание Алфавит цифр
Десятичная 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная 2 0, 1
Восьмеричная 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А(10),

В(11), C(12), D(13), E(14), F(15)

Задание 9. Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:
а) А₁₀ = А, 234; _____________________________________________________________

б) А₈ = -5678; _____________________________________________________________

в) А₁₆= 456, 46; ______________________________________________________________

г) А₃ =22, 2 ______________________________________________________________

Задание 10. Подчеркните числа, которые записаны с ошибками. Ответ обоснуйте.

156₇; 3005, 23₄; 185, 794₈; 1102₂; 1345, 52₆; 112, 011₃; 16, 545₅; В105, А₁₆;

13Е, 1К₁₆; 56А, В2₁₀

Задание 11. Сколько и каких цифр требуется для записи любого числа

в пятеричной системе счисления._________________________________________________

в восьмеричной системе счисления _______________________________________________

в троичной системе счисления ___________________________________________________

В позиционной системе счисления число можно представить в развернутой форме (в виде суммы разрядных слагаемых) и в свернутой форме. Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

Десятичное число А₁₀= 4718, 63 в развернутой форме запишется так:
А₁₀ = 4718, 63₁₀ = 4*10³ + 7*10² + 1*10¹ + 8*10⁰ + 6*10^-1 + 3*10^-2.

Развёрнутая форма двоичного и шестнадцатеричного числа:

10, 1 =1*2 +0*2 +1*2

3AF₁₆ = 3*16² + 10*16¹ + 15*16⁰

Задание 12. Какой числовой эквивалент имеет цифра 6 в десятичных числах: 6789, 3650, 16, 69?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 13. Сравни числа III и 111, записанные в римской и десятичной системах счисления.

Задание 14. Запиши в свернутой форме следующее число:

А₁₆=Ах16¹+16⁰+7х16^-1+5х16^-2 = ______________________________________________

Задание 15. Заполни следующую таблицу:

Задание 16. Запиши в развернутом виде числа:
а) А₈=143511 __________________________________________________________________

б) А₂=100111 __________________________________________________________________

в) А₁₆=143511 _________________________________________________________________

г) А₁₀=143, 5 ___________________________________________________________________