Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Рівняння Лагранжа другого роду






Узагальнюючими координатами називають систему змінних q1, …, qf (де f=3n-s – число ступенів вільності), що задовольняють таким вимогам: 1)Декартові координати можна однозначно виразити через узагальнені координати: ri=ri(q1, …, qf; t); 2)рівняння зв’язків повинні задовольнятися тотожно.

Рівняння вигляду називається рівнянням Лагранжа другого роду. При наявності зв’язків за допомогою рівнянь др. роду можна розв’язати ті самі задачі, що й за допомогою рівнянь Лагранжа першого роду.

Даному рівнянню можна надати іншого вигляду, якщо врахувати, що на кожну частинку системи діють як потенціальні, так і не потенціальні сили: , де U – повна потенціальна енергія системи, а fi – результуюча всіх не потенціальних сил, що діють на частинку.

Із структури рівнянь Лагранжа другого роду видно, що вони є системою диференціальних рівнянь другого порядку для визначення невідомих функцій qi(t). Якщо немає непотенціальних сил, рівняння Лагранжа набувають вигляду: .(1)

Особливістю рівнянь Лагранжа другого роду є те, що їх вигляд не залежить від конкретного змісту узагальнених координат. Можна замість координат qi ввести інші координати Qk згідно з формулами: Qi=Qi(qi, …, qf; t) (2) і при цьому вигляд рівняння не зміниться.

Дов. Нехай координати qi задовольняють рівняння (1). Перейдемо до нових змінних Qi за формулами (2). Знайдемо похідні: (3) I .(4) Оскільки L залежить від тільки через qi, (5), то звідси знаходимо: (6). Підставляючи (6) у (4) і обчислюючи повну похідну по часу від , маємо: (7) Оскільки , то віднімаючи (7) від (3), дістанемо: . Перетворення (2) у механіці називається точковим перетворенням. Тому кажуть, що рівняння Лагранжа другого роду інваріантні, тобто зберігають свою форму відносно будь-яких точкових перетворень.


42. Потенціальні сили. Лагранжіан.

Диференціальні рівняння Лагранжа спрощуються, якщо система знаходиться під дією потенціальних сил. Нехай сили, прикладені до точок системи, потенціальні. Тоді відповідно до формули Qk = узагальнених сил маємо їх вираження через потенціальну енергію = (q1 q2…qs, t): Qk = - . Звідси, узагальнені сили також є потенціальними. Внесемо вираження потенціальних сил в диференціальні рівняння - = Qk (k=1, 2, …s) (1). Якщо приймемо до уваги те, що потенціальна енергія не залежить від узагальнених швидкостей, тобто =0, то диференціальні рівняння можуть мати вигляд: (T-U) - (T-U)= 0. Визначимо функцію узагальнених координат, швидкостей і часу рівністю L() = T – U (2), де L називається функцією Лагранжа або лагранжіаном системи. Тоді рівняння Лагранжа (1) руху системи отримують наступний вигляд: - = 0 (k=1, 2, …s) (3). Для складання диференціальних рівнянь руху системи з потенціальними силами оказується, таким чином, достатнім є знання лагранжіана системи. При стаціонарних зв’язках і стаціонарному силовому полі лагранжіан не залежить явно від часу і є функцією тільки узагальнених координат і швидкостей, а при нестаціонарних зв’язках і нестаціонарних силах він явно залежить і від часу. Не важко побачити, що лагранжіан задається неоднозначно: додавання до нього будь-якої величини, яка не залежить від та явно, не змінює рівнянь (3). Крім того, додавання похідної по часу від довільної функції узагальнених координат також не змінює рівняння. Покажемо це. Нехай f() – довільна функція. Розглянемо новий лагранжіан: L΄ = L + f() = L + . Складемо для нього рівняння (3): ( + ) - - = 0. Розкриваючи дужки і проводячи диференціювання по часу, маємо: + - = 0, тобто приходимо до рівняння для попередньої функції Лагранжа L, так як члени з сумами взаємно знищуються. В процесі виведення рівнянь Лагранжа (1) і (3) було виконане перетворення координат, яке може розглядатися як перехід до будь-якої нової системи координат в тій же фізичній системі відліку або перехід до іншої інерціальної і навіть неінерціальної системи відліку. В будь-якій системі відліку і системі координат рівняння мають один і той же вигляд, тобто вони інваріанти по відношенню до вибору систем координат і систем відліку. Ця особливість рівнянь Лагранжа робить їх дуже цінними для теорії.







© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.