Теорема про зміну кінетичної енергії системи матеріальних точок.

Напишемо рівняння теореми для кожної точки системи, виділивши в правій частині рівняння суму робіт заданих сил і сил реакції: .

Потім врахуємо, що для системи задані сили і сили реакції зв’язків розпадаються на зовнішні та внутрішні; покажемо це в рівнянні: .

Під знаком диференціала в лівій частині цієї рівності знаходиться кінетична енергія системи, а права частина являє собою суму елементарних робіт заданих сил і сил реакцій (зовнішніх і внутрішніх). Введемо скорочені позначення і розглянуту рівність перепишемо у вигляді: .

Теорема про зміну кінетичної енергії системи матеріальних точок: диференціал кінетичної енергії системи дорівнює сумі елементарних робіт сил, що діють на точки системи. При ідеальних зовнішніх зв'язках робота зовнішніх сил реакцій дорівнює нулю: .

Теорема про зміну кінетичної енергії дозволяє визначити умови збереження повної механічної енергії; ці умови названі на законі збереження енергії: якщо всі сили, що діють на точки системи, є потенційними і стаціонарними, то повна механічна енергія системи залишається величиною постійною. Доведемо затвердження закону.

Насамперед зазначимо, що мова йде або про вільну систему, або про систему з ідеальними зв'язками, тобто виходимо з формули . Якщо задані зовнішні і внутрішні сили є потенціальними і стаціонарними, то для кожної точки виконуються умови , де - потенціальна енергія точки в полі системи, a - у зовнішньому полі.

Тоді для системи матеріальних точок елементарна робота зовнішніх сил може бути обчислена: , де - потенційна енергія системи у зовнішньому силовому полі.

Усередині системи на кожну точку діють потенційні сили з боку всіх інших, причому їх рівнодія знаходиться як градієнт (за координатами цієї точки) від потенціальної енергії системи, яка визначається формулою . Звідси випливає, що робота, що здійснюються внутрішніми силами над -ю точкою, виражається формулою . Підсумовуючи елементарні роботи по всіх точках системи, отримуємо: . Отримані вирази елементарних робіт підставимо в рівняння теореми про зміну енергії : , звідки випливає: , .Ми отримали закон збереження повної механічної енергії системи в разі потенційних сил, причому повна механічна енергія дорівнює сумі енергій кінетичної, зовнішньої потенційної та внутрішньої потенційної: . Закон збереження повної механічної енергії виражає перший інтеграл руху, який називається інтегралом енергії.

Для замкнутої системи з потенційними силами (вільної або з ідеальними зв'язками) повна механічна енергія зберігається: . Кінетична енергія системи матеріальних точок може бути представлена за теоремою Кеніга у вигляді суми енергії поступального руху
і енергії внутрішнього руху . Відповідно до цього в повній механічнії енергії
системи, яка визначається формулою , можна виділити внутню механічну енергію, що представляє собою суму енергій внутрішньої кінетичної і внутрішньої потенційної: . Внутрішня механічна енергія системи в загальному випадку не зберігаються, але для замкнутої системи з потенційними силами має місце збереження, так як постійна повна енергія і постійна її частина - енергія поступального руху. Cистеми, які зберігають повну механічну енергію називаються консервативними.