Оптимальная фильтрация при известной форме полезного сигнала

Обработку сигнала будем вести стационарным линейным фильтром с частотным коэффициентом передачи

Спектральная плотность входного сигнала известна:

Спектральный метод анализа позволяет найти сигнал на выходе в любой момент времени

Пусть на входе действует помеха в виде «белого шума» с энергетическим спектром . Дисперсия шумового сигнала на выходе

Отношение сигнал/шум на выходе фильтра в момент

Оптимальный фильтр максимизирует . При известном входном сигнале такой фильтр называется согласованным.

Т.о. реализация оптимального фильтра заключается в поиске , обеспечивающим максимум . находим, воспользовавшись неравенством Коши-Буняковского в виде

где – произвольные функции. Знак равенства возможен при условии

Положим

, если пропорциональны с константой , тогда

(3.48)

Для оптимального (согласованного) фильтра (на входе белый шум + полезный сигнал) в соответствии с (3.48) имеем

(3.49)

.

Из (3.49) следует формула для оптимального фильтра

(3.50)

Рис. 3.25 Частотный коэффициент передачи оптимального фильтра

Момент времени входит только в выражение для фазовой характеристики фильтра, поэтому его АЧХ (рис. 3.25) повторяет спектральную функцию входного сигнала (гребенчатый фильтр).

Функция автокорреляции входного сигнала имеет вид

Сигнал на выходе фильтра с учетом (3.50)

т.е. а максимальное значение равно

где – энергия выделяемого сигнала.

Если – энергетический спектр белого шума на входе фильтра, то

Дисперсия в этом случае равна

и с учетом ее наилучшее отношение сигнал/шум принимает вид

(3.51)

Пример. Оптимальный фильтра с прямоугольным импульсом на входе (рис.3.26).

Рис. 3.26 Прямоугольный импульс

Спектральная плотность входного сигнала, представленного на рис. 3.27 равна

При определении частотного коэффициента передачи согласованного фильтра положим , т.е. максимум отклика приходится на момент окончания импульса

Реализация оптимального фильтра осуществляется тремя устройствами (рис. 3.27): усилителем (масштабный множитель идеальным интегратором и электрической цепью с коэффициентом передачи (звено задержки на время , инвертор, сумматор).

Рис. 3.27 Структурная схема оптимального фильтра

Для относительно простых сигналов часто используют квазиоптимальную фильтрацию.