Краткие теоретические сведения

Прогнозирование ряда динамики – нахождение трендов и скрытых периодичностей динамического процесса по настоящим и прошлым значениям временных данных для предсказания развития процесса в будущем.

Предиктор величины по – функция, предсказывающая значения по данным переменной , т.е. оператор в уравнении .

Оптимальный предиктор – предиктор, минимизирующий среднеквадратичную ошибку в заданном классе предикторов.

Методы анализа временных рядов

Метод авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС). Это важный класс параметрических моделей, имеющий большое практическое значение. В системе STATISTICA V.6.0 этот метод реализован в методологии Бокса и Дженкинса. Большинство временных рядов описываются моделями АРПСС.

Метод анализа прерванных временных рядов (модели АРПСС с интервенцией). Данный метод позволяет проводить анализ моделей АРПСС с интервенцией. Необходимость в анализе такого рода возникает, когда с некоторого момента времени резко изменяется поведение ряда в силу внешних причин.

Метод экспоненциального сглаживания и прогнозирования позволяет сгладить наблюдаемый ряд, выделить из него шум и прогнозировать будущие значения. Различные виды трендов и сезонность траектории ряда могут быть учтены в модели.

Метод сезонной декомпозиции (обычный метод и X11-метод)позволяет выделить тренд в ряде, сезонную или циклическую составляющую и нерегулярную компоненту. Данный метод позволяет анализировать аддитивную модель, в которой временной ряд X(t) представляется в виде:

,

где Т – тренд; С – циклическая составляющая; S – сезонная составляющая; – нерегулярная случайная компонента, или мультипликативную модель:

Анализ распределенных лагов позволяет построить регрессию одного ряда на другой. Это важно, если требуется предсказать значения одного ряда на основе значений другого ряда. Общая модель здесь имеет вид:

,

где Y – зависимый ряд наблюдений; Х – независимый ряд.

Спектральный (Фурье) анализ позволяет провести спектральный анализ стационарных временных рядов, построить периодограмму и дать оценки спектральной плотности. Методы спектрального анализа имеют большое значение для определения скрытых периодичностей в данных.

Метод авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего

(ARIMA – АРПСС)

Метод авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего чрезвычайно популярен во многих приложениях. Большое количество экологических и социально-экономических процессов описываются моделями АРПСС. Метод АРПСС основан на использовании процессов авторегрессии и скользящего среднего.

Процесс авторегрессии. Большинство временных рядов содержат элементы, которые последовательно зависят друг от друга. Такую зависимость можно выразить следующим уравнением:

,

где – свободный член; – параметры авторегрессии. Видно, что для этой модели каждое наблюдение есть сумма случайной компоненты (случайное воздействие ) и линейной комбинации предыдущих наблюдений.

Процесс скользящего среднего. В отличие от процесса авторегрессии, в процессе скользящего среднего каждый элемент ряда подвержен суммарному воздействию предыдущих ошибок. В общем виде уравнение прогноза можно записать следующим образом:

.

Другими словами, текущее наблюдение ряда представляет собой сумму случайной компоненты (случайное воздействие ) в данный момент времени и линейной комбинации случайных воздействий в предыдущие моменты времени.

Модель авторегрессии и скользящего среднего. Общая модель, предложенная Боксом и Дженкинсом (1976) может включать как параметры авторегрессии, так и параметры скользящего среднего. Имеется три типа параметров модели: параметры авторегрессии (p), порядок разности (d), параметры скользящего среднего (q). В обозначениях Бокса и Дженкинса модель записывается как АРПСС (p, d, q). Алгоритм идентификации параметров p, d, q описан в Лабораторной работе № 5. В общем виде данная модель может быть записана следующим образом:

.

Оценивание и прогноз. Следующий после идентификации шаг – оценивание. Он состоит в оценивании параметров модели. Полученные оценки параметров используются на последнем этапе – выполнении прогноза. На этом этапе вычисляются новые значения ряда, и строится доверительный интервал прогноза. Процесс оценивания проводится по преобразованным данным. Оценка значимости параметров основывается на использовании t -статистики. Если значения вычисляемой t -статистики не значимы, соответствующие параметры в большинстве случаев удаляются из модели без ущерба подгонки, а модель пересчитывается.

Анализ остатков. Качественная (адекватная) модель должна не только давать достаточно точный прогноз, но быть экономной (использующей минимум параметров) и иметь малозначимые независимые остатки, содержащие только шум без систематических компонент (в частности, АКФ остатков не должна иметь какой-либо периодичности). Поэтому необходим всесторонний анализ остатков на периодичность автокорреляционных функций (АКФ и ЧАКФ) и нормальность распределения остатков.

Если остатки систематически распределены (например, отрицательны в первой части ряда и примерно равны нулю во второй) или включают некоторую периодическую компоненту, то это свидетельствует о неадекватности модели. Анализ остатков чрезвычайно важен и необходим при анализе временных рядов. Процедура оценивания остатков предполагает, что остатки не коррелированны и нормально распределены.

Ограничения. Следует напомнить, что модель АРПСС является подходящей только для рядов, которые являются стационарными (среднее, дисперсия и автокорреляция примерно постоянны во времени). Для нестационарных рядов следует выделять тренды и брать разности для преобразования рядов к стационарному виду. Рекомендуется иметь, как минимум, 50 наблюдений в файле исходных данных. Также предполагается, что параметры модели постоянны, т.е. не меняются во времени.