Вероятностные распределения и их свойства

Нормальное распределение –это распределение вероятностей непрерывной величины, которая описывается плотностью

,

где a и s параметры закона, интерпретируемые соответственно как среднее значение и дисперсия случайной величины. Нормальный закон с параметрами a =0 и σ ²=1 называют стандартным. Для нормального распределения среднее (x_s), мода (Mo), медиана (Me) равны: x_s = Mo = Me = a; ассиметрия (A) и эксцесс (E): A=E=0.

Нормальное распределение вероятностей наиболее часто используется на практике. Это распределение дает хорошую модель для реальных явлений, в которых:

- имеется сильная тенденция данных группироваться вокруг центра;

- положительные и отрицательные отклонения от центра равновероятны;

- частота отклонений быстро падает, когда отклонения от центра становятся большими.

Множество величин имеют нормальное распределение, например, распределение приращений индексов развитых стран, курсы акций, физические величины, ошибки измерений и т.д.

Полезно знать правила 2- и 3-сигма, или 2- и 3-стандартных отклонений, которые связаны с нормальным распределением и используются в разнообразных приложениях. Если от точки среднего или, что то же самое, от точки максимума плотности нормального распределения отложить вправо и влево соответственно два и три стандартных отклонения (2- и 3-сигма), то площадь под графиком нормальной плотности, подсчитанная по этому промежутку, будет соответственно равна 95, 45% и 99, 73% всей площади под графиком. Другими словами, это можно выразить следующим образом: 95, 45% и 99, 73% всех независимых наблюдений из нормальной совокупности, например размеров детали или цены акций, лежит в зоне 2- и 3-стандартных отклонений от среднего.

Равномерное распределение используется при описании переменных у которых каждое значение равновероятно. Это распределение описывается плотностью:

.

Равномерному распределению подчинены ошибки округления при измерениях, время ожидания пассажиром прибытия метро при точных интервалах движения поездов и т.д.

Для равномерного распределения среднее и медиана равны x_s = Me=(a+b)/2; дисперсия ; ассиметрия A=0, эксцесс E =-1, 2.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью:

,

где λ – постоянная положительная величина.

Показательное распределение описывает события которые можно назвать редкими. Для этого распределения среднее x_s = 1/λ, мода Mo=0, медиана Me=( 1/λ) ln2; дисперсия σ ²=1/λ ², ассиметрия A=2, эксцесс E=6. Показательное распределение является частным случаем распределения Вейбула:

.

Данное распределение используется при описании времен отказов в теории надежности, коэффициентов смертности в области демографии, интервалов между заходами на непопулярные сайты и т.д.

Логнормальное распределение описывается плотностью:

.

Это распределение используется, например, при моделировании таких переменных как доходы, возраст новобрачных, допустимое отклонение от стандарта вредных веществ в продуктах питания, выбросы вредных веществ предприятий и т.д. Основные характеристики логнормального распределения: среднее x_s=a·exp( σ ²/2), мода Mo=a·exp (-σ ²), медиана Me=a; дисперсия σ ² =a²·exp( σ ²) ·(exp(σ ²)-1).

В различных прикладных задачах статистики используются и другие вероятностные распределения: экспоненциальное, гамма-распределение, распределение Эрланга, Хи-квадрат-распределение, биноминальное распределение, полиномиальное распределение, распределения Стьюдента, Релея и т.д.

Почему важно нормальное распределение

Нормальное распределение (термин был впервые введен Гальтоном в 1889 г.) иногда называемое гауссовским, важно по многим причинам. Распределение большого числа переменных, статистик, разностей является нормальным или может быть получено из нормального с помощью некоторых преобразований. Рассуждая философски, можно сказать, что нормальное распределение представляет собой одну из эмпирических проверенных истин относительно общей природы действительности и его положение может рассматриваться как один из фундаментальных законов природы. На практике не все статистики, но многие из них, либо имеют нормальное распределение, либо имеют распределение, связанное с нормальным и вычисляемое на основе нормального, такое как t, F или Хи – квадрат. Если же объем выборки достаточно большой, то переменные чаще всего «нормально распределены». Известно, что при возрастании объема выборки форма распределения статистики критерия оценки приближается к нормальной, даже если распределение исследуемых переменных не является нормальным. Этот принцип называется центральной предельной теоремой. Поэтому часто изучение характера функций распределения случайных величин начинают с проверки выборки (переменной) на нормальность и, если оценка на нормальность дает отрицательный результат, то тогда осуществляют сравнение данных с другими распределениями.