Прореживание по времени.

Рис.9.3. Исходная выборка.

Рис.9.3а. Четные выборки.

Рис.9.3б. Нечетные выборки.

включают отсчеты сигнала с четными номерами, т.е. обозначим их Х_nчт, а во вторую - отсчеты с нечетными номерами, т.е. , обозначим их Х_nнч.

Таким образом ,

, где

Представим k -ый коэффициент ДПФ в виде

Так вычисляются первые коэффициентов .

Далее, учтем, что и , кроме того, множитель преобразуется . Тогда выражения для второй половины множества коэффициентов

Таким образом, вычисление N-T отсчетного преобразования C_k, k=0, 1, 2, …, N-1 можно произвести путем вычисления двух - точечных преобразований:

С последующим их объединением:

Покажем это на примере N=8 отсчетов (рис. 9.4)

Рис.9.4. Первый этап БПФ.

9.5.Сокращение числа умножений.

Прямое вычисление N-точечного преобразования требует N² комплексных умножений. При рассмотренном приеме прямое вычисление двух точечных преобразований потребует комплексных умножений, а их объединение, еще умножений. Общее число умножений .

Если N/2 в свою очередь делится на 2, то вычисление каждого из преобразований С_{К ЧТ} и С_{К НЧ} можно также свести к двум N/4 – точечным преобразованиям, что вызовет дополнительное уменьшение требуемого количества операций умножений. Если N=2^m, то вычисление разбивается на m=log ₂ N этапов, в каждом из которых требуется N/2 умножений. Таким образом общее количество умножений равно mN/2 = N/2 log ₂ N.

Например, при N=2¹⁰ = 1024 точечном преобразовании число умножений 0, 5*1024*10 = 10⁴/2 =5000, в то время как при N – точечном ДПФ потребовалось бы

N² = 10⁶ операций умножений. Выигрыш в 200 раз.

Покажем сведение 8-точечного преобразования к четырем 2-точечным ДПФ (Рис.9.5).

Рис. 9.5 Второй этап БПФ.

Полная схема вычислений восьмиточечного БПФ

Рис. 9.6 Полная схема вычисления БПФ

Рис 9.7. Схема формирования отсчетов