Свойства дискретное преобразования Фурье.

Свойства:

1. ДПФ есть линейное преобразование, то есть ДПФ суммы равно сумме ДПФ.

2. Число различных коэффициентов с₀, c₁, …, c_N-1, равно числу N отсчетов в выборке. Действительно при k = N.

3. (постоянная составляющая) является средним значением всех отсчетов

4. Если N -четное, то

5. Коэффициэнты ДПФ, номера которых распологается симметрично относительно номера , образуют комплексно-сопряженные пары.

Поэтому можно считать, что коэффициенты отвечают отрицательным частотам.

При изучении амплитудного спектра сигнала они не играют ни какой роли и их можно не вычислять.

при N =8

Если , то требуемое число весовых коэффициентов сокращается, при этом число различных по модулю значений близко к N

Это связано со следующим. Весовая функция является периодической функцией аргумента nk. Так как n и k принимают значения из последовательности 0, 1, …… N -1, то произведения nk, принимающие значения 0, 1, ……, , будут содержать большее число периодов N, и соответствующие им значения будут повторяться через период N

Так для N =8

nk

В пределах одного периода первые значений отличаются от вторых значений лишь знаком.

Устранение избыточных операций умножения приводит к так называемому алгоритму быстрого преобразования Фурье (БПФ).

P.S. Б.А. Калабеков. Микропроцессоры и их применение в сетях передачи и обработки сигналов-м.: Радиосвязь, 1988г.