Прямое и обратное дискретное преобразование Фурье

При использовании ЦВМ для анализа спектра непрерывных сигналов, реальный сигнал на интервале Т заменяется его N дискретными отсчетами, равноотстоящими друг от друга на ∆ t = T/N. Мы изучаем особенности спектрального представления дискретного сигнала, который задан на отрезке [0, T] своими отсчетами X_0, X₁, X₂, …, X_N-1, взятыми соответственно в моменты времени 0, ∆ t, 2∆ t, …, (N-1) ∆ t; полное число отчетов N=T/∆ t. Массив этих чисел является единственным источником сведений о спектральных свойствах сигнала X(t).

При этом вместо ряда Фурье обычно говорят о дискретном преобразовании Фурье (ДПФ), а интегрирование в

приближенно заменяют суммированием конечного числа членов

где x(n∆ t)- значение сигнала Х(t) в дискретные моменты времени t = 0, ∆ t, 2∆ t, …, (N-1) ∆ t.

Дискретный сигнал x_g(t) является произведением исходного сигнала x(t) и дискретизирующей последовательности η (t) (рис.9.1).

Рис.9.1 Дискретизирующая последовательность η (t).

тогда x_g(t)=x(t)η (t).

На интервале (0, Т) число отчетов N = T/Δ t, тогда

. (9.1)

Представим x_g(t) комплексным рядом Фурье

Напомним, что T = NΔ t.

Подставив (9.1) в и введя безразмерную переменную , получим

И, используя фильтрующее свойство функции, имеем

Введя обозначение , можно сформулировать алгоритмы ДПФ в виде следующих операций:

1. Произвести выборку дискретных отсчетов x(nΔ t) исследуемого сигнала и преобразовать их в цифровой код.
2. Генерировать значения комплексных весовых коэффициентов в том же кодовом представлении.
3. Умножить дискретные отсчеты сигнала на весовые коэффициенты .
4. Просуммировать полученные частные произведения и вычислить .

- обратное дискретное преобразование Фурье.