Локальная и Интегральная теорема Лапласа

8.1 Локальная теорема Лапласа

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна

р (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

где

Таблица функции φ (x) для положительных значений х приведена в приложении 1; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей [функция φ (x) четная, следовательно, φ (- x) = φ (x) ].

8.2 Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых событиях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0< p< 1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна

Р(k₁; k₂ ) = Ф(х " ) – Ф(х'),

где

_- функция Лапласа,

Таблица функции Лапласа для положительных значений
0 ≤ х ≤ 5 приведена в приложении 2; для значений x> 5 полагают Ф(х) = 0, 5. Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая что функция Лапласа нечетная [Ф(-х) = - Ф(х)].

Задача 15. Найти вероятность того, что событие А наступит 1100 раз в 2500 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0, 5.

Решение. Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа

Вычислим х:

Функция - четная, поэтому φ (-6) = φ (6) = 0

По таблице приложения 1 найдем φ (6) = 0.

Искомая вероятность

Р₂₅₀₀ (1100) = 1/25 ∙ 0 = 0.

Ответ: Вероятность того, что событие А наступит 1100 раз в 2500 испытаниях, равна нулю.

Задача 16. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р = 0, 6. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 55 раз и не более 80 раз; б) не менее 55 раз

Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Р(k₁; k₂ ) = Ф(х " ) – Ф(х'),

где Ф(х) – функция Лапласа,

, .

а) По условию, n = 100; р = 0, 6; q = 0, 4; k₁ = 55; k₂ = 80.
Вычислим x' и х":

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. Ф(-х) = - Ф(х), получим:

Р₁₀₀ (55; 80) = Ф(4, 08) – Ф(- 1, 02) = Ф(4, 08) + Ф(1, 02).

По таблице приложения 2 найдем

Ф(4, 08) = 0, 4999; Ф(1, 02) = 0, 3461.

Искомая вероятность

Р₁₀₀ (55; 80) = 0, 4999 + 0, 3461 = 0, 846.

б) Требование, чтобы событие появилось не менее 55 раз, означает, что число появлений события может быть равно 55, либо 56, …, либо 100. Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять k₁ = 55, k₂ = 100. Тогда,

По таблице приложения 2 найдем Ф; Ф(8, 17) = 0, 5.

Искомая вероятность

Р₁₀₀ (55; 80) = Ф(8, 17) – Ф(- 1, 02) = 0, 5 + 0, 3461 = 0, 8461.

Ответ: а) Вероятность того, что событие появится не менее 55 раз и не более 80 раз, равна 0, 846;

б) Вероятность того, что событие появится не менее 55 раз, равна 0, 8461.

9. ВЕРОЯТНОСТЬ ОТКЛОНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТЫ ОТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Вероятность того, что в n независимых испытаниях отклонение относительной частоты появления некоторого события A от вероятности его появления p по абсолютной величине не больше заданного числа ε > 0, т.е. вероятность осуществления неравенства:

, приближенно равна удвоенной функции Лапласа при Х= .

P = 2Φ .

Задача 17. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0, 8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0, 04.

Решение. По условию n=625; p=0, 8; q=0, 2; ε =0, 04. Требуется найти вероятность P . Воспользуемся формулой

P = 2Φ .

Имеем:

P =2Φ =2Φ (2, 5).

По таблице приложения 2 найдем Φ (2, 5)=0, 4938. Следовательно, 2Φ (2, 5)= 2•0, 4938=0, 9876. Итак, искомая вероятность приближенно равна 0, 9876.