Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






График функции распределения






Из свойств функции распределения следует:

Ø График расположен в полосе, ограниченной прямыми y=0 и y=1;

Ø При возрастании х в интервале (a, b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график “поднимается вверх”;

Ø При х ≤ a ординаты графика равны нулю; при х ≥ b ординаты графика равны единице.

График функции распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

 

F(x)

 

 
 

 


 

a b x

 

10.14. Функцию распределения вероятностей случайной величины называют интегральной функцией.

По функции распределения вероятностей трудно судить о характере распределения в небольшой окрестности точки числовой оси. Для этого удобнее пользоваться плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

10.15. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x):

 

f(x) = F′ (x).

 

Функцию f(х) называют дифференциальной функцией.

 

10.16. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:

 

Р(а < X < b) = f(x)dx.

 

Если известна плотность распределения f(x), то функция распределения F(x) находится по формуле:

 

F(x) = f(x)dx.

10.17. Плотность распределения обладает следующими свойствами:

Ø плотность распределения – неотрицательная функция:

 

f(x) ≥ 0.

 

Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью ОХ, либо на этой оси;

 

Ø несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ∞ до ∞ равен единице:

 

f(x)dx = 1.

Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то

 

f(x)dx = 1.

 

10.18. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку

[a, b], называется определенный интеграл:

M (X) = x f(x)dx

Если возможные значения принадлежат всей оси ОХ, то

 

М(X) = f(x)dx.

Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством:

 

D(X) = [x – M(X)]2 f(x)dx,

 

или D(X) = x2 f(x)dx – [M(x)]2.

 

Если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a, b), то

 

D(X) = [x – M(X)]2 f(x)dx,

 

или D(X) = x2 f(x)dx – [M(X)]2.

 

Все свойства дисперсии, указанные для дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:

 

Задача 19. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной по данному закону ее распределения:

 

Х -5      
р 0, 4 0, 3 0, 1 0, 2

 

Решение. Дисперсию можно вычислить, исходя из ее определения, однако мы воспользуемся формулой

 

D(X) = M(X2) – [M(X)]2.

 

Найдем математическое ожидание случайной величины Х:

 

M(X) = х1р1 + х2р2 + … + хnрn = -5∙ 0, 4 + 1∙ 0, 3 + 8∙ 0, 1 + 4∙ 0, 2 = -0, 1

 

Напишем закон распределения для Х2:

 

Х2        
р 0, 4 0, 3 0, 1 0, 2

 

Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины Х2:

 

M(X2) = х21 р1+ х 22р2 + … + х2nрn,

 

M(X2) = 25∙ 0, 4 + 1∙ 0, 3 + 64∙ 0, 1 + 16∙ 0, 2 = 19, 9.

Найдем искомую дисперсию:

D(X) = M(X2) – [M(X)]2 = 19, 9 – (-0, 1)2 = 19, 89.

 

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

.

 

Ответ: Дисперсия равна 19, 89, среднее квадратическое отклонение равно 4, 46.

Задача 20. Случайная величина Х задана интегральной функцией (функцией распределения) F(x). Требуется: 1) найти дифференциальную функцию (плотность вероятности); 2) найти математическое ожидание и дисперсию Х; 3) построить графики интегральной и дифференциальной функций.

 

0 при х ≤ 0

х2 ПРИ 0 < x ≤ 11;

F(x) = 121

1 при х > 11.

 

Примечание. Для решения задачи необходимо знать:

 

1. (c∙ f(x))′ = c∙ (f(x))′;

 

2. (xn)′ = n∙ xn-1;

 

3. ∫ f(x)dx = F(x) + c;

 

4. ∫ c∙ f(x)dx = c ∫ f(x)dx;

 

5. ∫ (f1(x)+f2(x) + … +fn(x))dx = ∫ f1(x)dx + ∫ f2(x)dx + … + ∫ fn(x)dx;

xn+1

6. ∫ xndx = n + 1 + c;

b b

7. ∫ f(x)dx = F(x)│ = F(b) – F(a).

a a

Решение.

1) Плотность распределения вероятностей равна первой производной функции распределения:

 

0 при x ≤ 0

f(x) = F′ (x) = 2∙ x при 0 < x ≤ 11

121

0 при x > 11

2) Найдем математическое ожидание:

11 11 11 11

М(Х) = ∫ x∙ f(x)dx = ∫ x∙ 2∙ x /121dx = 2/121∫ x2dx = 2/121 ∙ x3/ 3 =

0 0 0 0

= 2/362 ∙ (113 – 03) = 22/3 = 7, 3.

 

3) Найдем искомую дисперсию, учитывая, что М(Х) = 22/3:

b

или D(X) = ∫ x2 f(x)dx – [M(X)]2.

a

11 11

D(Х) = ∫ [x ]2∙ f(x)dx-М2(х) = ∫ (x)2 ∙ 2x/121dx –(22/3)2 =

0 0

 

11

=2/121(x4/4) –(22/3)2 = 6, 72.

0

 

4) Построим графики интегральной и дифференциальной функций:

 

 

у

Х 0 11

F(x) 0 1

 

 

1

0 11 x

 

 
 


у X 0 11

f(x) 0 2/11

 

 

 

2/11

 

 
 


0 11 x

 

 

Ответ: 1)Дифференциальная функция равна:

 
 


0 при x ≤ 0;

f(x) = F′ (x) = 2∙ x ПРИ 0 < Х ≤ 11;

121

0 ПРИ Х > 11.

 

2)Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: М(Х) = 7, 3, D(X) = 6, 72

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.