Ответ: 0,9876

Задача 18. Сколько нужно сделать опытов, чтобы с вероятностью равной 0, 90 можно было бы утверждать, что относительная частота появления события отклонится от постоянной вероятности р по абсолютной величине не более чем на 0, 05.

Решение. По условию

P =0, 90

но,

P = 2Φ ,

поэтому:

2Φ =0, 90.

Вероятность не известна, поэтому оцениваем самый неблагоприятный случай: p=1/2, тогда q= .

Получаем

Φ (0, 1 )=0, 45.

В приложении 2 находим значение x=1, 65, удовлетворяющее условию:

Φ (x)=0, 45; тогда 0, 1 =1, 65,

=16, 5, n≈ 272.

Ответ: 272.

10. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

10.1. Величина, которая в результате опыта в зависимости от различных, случайных обстоятельств может принимать различные числовые значения, называется случайной величиной.

Например, курс доллара, температура воздуха в наугад взятый день, цены товаров, прибыль или убытки фирмы и т. д.

10.2. Случайная величина, которая может принимать лишь отдельные, изолированные друг от друга на числовой оси значения, называется дискретной.

10.3. Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать все числовые значения, сплошь заполняющие некоторый промежуток на числовой оси.

10.4. Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями случайной величины и соответствующих им вероятностями.

Приняты следующие формы (способы задания) законов распределения, функция распределения и плотность рапределения.

10.5. Величины, в сжатой форме характеризующие основные особенности распределения случайной величины, называются его числовыми характеристиками.

К числу важных числовых характеристик относятся математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

10.6. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

М(X) = х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_nр_n.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

- Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М(с) = 0.

Ø Постоянный множитель можно выносить за знак математическое ожидание математического ожидания:

М(сX) = сМ(X).

Ø Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

М(X₁X₂ … X_n) = М(X₁)•М(X₂) … •М(X_n).

Ø Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(X₁ + X₂ + … + X_n) = М(X₁) + М(X₂) + … +М(X_n).

10.7. Математическое ожидание М(X) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

М(X) = nр.

10.8. Отклонением случайной величины от ее математического ожидания называют разность между этой случайной величиной и ее математическим ожиданиям.

10.9. Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = М[х – М(X)]².

Удобнее для вычисления дисперсии пользоваться формулой

D(X) = М(X²) – [М(X)]².

Дисперсия обладает следующими свойствами:

Ø дисперсия постоянной равна нулю:

D(с) = 0;

Ø постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D(cX) = c²D(X);

Ø дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X₁ + X₂ + … +X_n) = D(X₁) + D(X₂) + … + D(X_n);

Ø дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X – Y) = D(X) – D(Y).

10.10. Если производится n независимых испытаний, в каждом их которых вероятность р появления события А постоянна, то дисперсия числа появлений события А равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D(X) = nрq.

10.11. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии:

σ (X) = .

10.12. Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Для задания непрерывной случайной величины используется так называемая функция распределения вероятностей случайной величины, т.е. вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение меньше х. Вероятность события Х < х обозначается: F(x)

Функцией распределения случайной величины Х называется такая функция F(x), которая определяется для каждого значения Х как вероятность выполнения неравенства Х < х, т.е. F(x)=P(X < x).

Геометрически это равенство понимается так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

Ø Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]:

0 ≤ F(x) ≤ 1;

Ø Функция распределения – функция неубывающая, т.е.

F(x₂) ≥ F(x₁), если х₂> х₁.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a).

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю;

Ø Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то: 1) F(x)=0 при х ≤ a; 2) F(x)=1 при х ≥ b.

Следствие3. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

lim F(x) = 0; lim F(x) = 1.

^{x → - ∞ x → ∞}