Формула Бернулли

7.1. Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом из них не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

7.2 Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0< р< 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна

Р_n (k) = C ^k_n p^k q^{n - k},

или

,

где q = 1 – p.

7.3 Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, находят соответственно по формулам:

а) Р_n (0) + Р_n (1) + … + Р_n (k - 1);

б) Р_n (k + 1) + Р_n (k + 2) + … + Р_n (n);

в) Р_n (k) + Р_n (k + 1) + … + Р_n (n);

г) Р_n (0) + Р_n (1) + … + Р_n (k).

Задача 13. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что “герб” выпадет:

а) ровно два раза;

б) менее двух раз;

в) не менее двух раз.

Решение. Вероятность того, что выпадет “герб” р = 0.5, не “герб” 0, 5(q = 1 – 0, 5 = 0.5). Монету бросают пять раз, значит, n = 5.

Применим формулу Бернулли:

а) найдем вероятность того, что «герб» выпадает два раза при пяти бросаниях монеты:

;

б) найдем вероятность того, что «герб» выпадает менее двух раз при пяти бросаниях монеты:

P₅ (k < 2) = P₅ (0) + P₅ (1) = ;

в) найдем вероятность того, что «герб» выпадает не менее двух раз. События «герб» выпадает менее двух раз и «герб» выпадает не менее двух раз противоположны:

Р₅ (k ≥ 2) ₌ 1 - P₅ (k < 2) = 1 – 3/16 = 13/16.

Ответ: Вероятность, что герб выпадает ровно два раза - 5/16, менее двух раз - 3/16, не менее двух раз - 13/16.

Задача 14. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0, 84. Найти вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах.

Решение. По формуле появления хотя бы одного события имеем:

Р = 1 – q² = 0.84, q² = 0, 16, q = 0, 4, р = 1 – q = 0, 6.

Искомая вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах по формуле Бернулли равна:

.

Ответ: Вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах

равна 162

625.