Основные формулы комбинаторики

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гмурман В.Е Теория вероятностей и математическая статистика/Е.В.Гмурман.- М., Высшая школа, 2003.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике/ В.Е.Гмурман.- М., Высшая школа, 2003.

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах/ Ч. 2 П.Е.Данко, А.Г. Попов., Т.Я. Кожевникова.

М. “Оникс 21 век”, “Мир и образование” 2003.

4. Ермаков В.И. Справочник по математике для экономистов: Учеб. Пособие / В.И.Ермаков, В.Е.Барбаумов, Н.Н.Кривенцова и др.- М.: Инфра – М, 2007.

5. Кузнецов Ю.Н. Математическое программирование / Ю.Н.Кузнецов – М.: Высшая школа, 2003-2006.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей/Б.В.Гнеденко.- М., Высшая школа, 2000.

2. ВентцельЕ.С Теория вероятностей/Е.С.Вентцель-М.Высшая школа. 2001.

3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций, под редакцией А.А.Свешникова, М., Наука 2000.

4. Красс М.С. Математика для экономического бакалавриата. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М.: Дело, 2005.

5. Федосеев В.В Экономико- математические методы и модели / В.В.Федосеев, Н.Н. Гармаш и др. – М.: Юнити, 2002.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ.

Теория вероятностей является одним из основных методов исследования в экономике, естествознании, технике и других науках. Она развилась из потребностей практики, и её аксиомы и теоремы в абстрактной форме отражают закономерности, присущие случайным событиям массового характера, т.е. событиям, которые могут произойти, но могут и не произойти по причинам, не поддающимся непосредственному учету в данных условиях. Изучение количественных закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, и составляет предмет теории вероятностей.

Вопросы организации и планирования производства также связаны с необходимостью учета случайных событий и, следовательно, не могут быть решены без применения теории вероятностей.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ

При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

1.1. Соединениями называют различные группы, составленные из каких – либо объектов.

Элементами называют объекты, из которых составлены соединения.

Различают следующие три вида соединений: перестановки, размещения и сочетания.

1.2. Перестановками из n элементов называют соединения, каждое из которых содержит n элементов и отличающиеся между собой лишь порядком элементов.

Число всех перестановок из n элементов обозначается символом Р_n

Число всех перестановок из n элементов равно произведению последовательных натуральных чисел от 1 до n включительно, т.е. Р_n = 1· 2∙ 3∙ …∙ (n-1)n.

Произведение n натуральных чисел от 1 до n принято сокращенно обозначать n!, т.е. 1· 2∙ 3∙ …∙ (n-1)n = n! (читается “эн - факториал”)

Тогда формулу для числа перестановок запишем в виде: Р_n = n!.

Например, Р₅ = 1· 2∙ 3∙ 4∙ 5 = 120.

Пользуясь понятием фокториала формулу для числа размещений можно записать так:

А^m_n= ^n! _(n-m)!

1.3. Размещениями из n элементов по m, (m ≤ n) называются такие соединения, в каждое из которых входит m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m обозначается символом А^m_n

Число всевозможных размещений из n элементов по m равно произведению m последовательных чисел натурального ряда, наибольшим из которых является n, т.е.

А^m_n = n (n –1) (n –2) … (n –(m - 1).

Например, вычислить А³_5. Имеем: n=5, m=3.

И A³₅ = 5(5-1)(5-(3-1))= 5^. 4 ^. 3 = 60

1.4 Сочетаниями из n элементов по m (m ≤ n) называют соединения, в каждое из которых входит m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются только элементами (хотя бы одним).

Число различных сочетаний из n элементов по m обозначается символом C^m_n

Число всевозможных сочетаний из n элементов по m равно частному от деления произведения последовательных чисел натурального ряда, наибольшее из которых равно n, на произведение последовательных натуральных чисел от 1 до m включительно, т.е.

С^m_{n =} _ n(n – 1)(n – 2) … (n – (m – 1))__

1 ∙ 2 ∙ 3…m.

Формулу для числа сочетаний из n элементов по k можно представить через число размещений и перестановок:

C^m_{n = ­­} _ n! _

m! (n-m)!

Например: С^m_n = С³_{5 =} _5∙ 4^. 3_ _{= 10.}

1·2^. 3