Дискретное преобразование Лапласа

Дискретное преобразование Лапласа является функциональным преобразованием решетчатых функций.

Как известно, непрерывная функция времени имеет изображение по Лапласу:

.

Если в эту формулу подставить текущее время в виде , где k = 1, 2,..., то интеграл можно заменить суммой

(2.1)

или в относительных единицах при q = рТ

. (2.2)

Для смещенных функций

. (2.3)

Дискретное преобразование Лапласа имеет смысл только в том случае, если ряд, стоящий в правой части уравнений (2.2), (2.3) сходится.

Параметр преобразования q в общем случае – комплексное число .

Чем больше значение σ, тем быстрее сходится ряд (2.2).

Абсциссой сходимости называется такое значение , для которого при ряд сходится, а при расходится.

Изображение решетчатой функции в комплексной плоскости есть периодическая вдоль мнимой оси функция

.

Поэтому функция F (q) полностью определена в полосе, соответствующей .

Обратное преобразование Лапласа производится по формуле

,

где – символ обратного дискретного преобразования Лапласа,

с – произвольная постоянная, удовлетворяющая условию .

Для смещенной решетчатой функции

.