Решетчатые функции. Разностные уравнения

На рис. 2.5 представлены непрерывная функция времени f (t) и соответствующая ей решетчатая функция , значения которой определены для t_k = kT. Таким образом, вместо непрерывного аргумента t мы имеем целочисленный аргумент k (номер интервала времени).

а) б)

Рис. 2.5. Непрерывная (а) и решетчатая (б) функции

Решетчатой функцией называется действительная функция целочисленного аргумента.

Для решетчатых функций вводятся разности различных порядков, которые аналогичны производным для непрерывных функций.

Разность первого порядка

.

Разность второго порядка

.

Разность i -гo порядка выражается рекуррентным [1] соотношением

или, с учетом выражений разностей,

,

где - биномиальные коэффициенты.

Уравнение, содержащее решетчатую функцию и ее разности различных порядков, называется уравнением в конечных разностях или разностным уравнением (аналог дифференциального уравнения). Линейное разностное уравнение имеет вид

.

Заменяя разности их выражениями, получим разностное уравнение в рекуррентной форме

.

Наиболее часто применяются системы разностных уравнений первого порядка в рекуррентной форме. Они могут быть получены в результате применения к системам дифференциальных уравнений первого порядка численных методов.

Разностные уравнения по существу являются рекуррентными соотношениями, позволяющими при i = 0, 1, 2,... последовательно шаг за шагом (т.е. рекуррентно) вычислять значения выходной величины при заданных ее начальных значениях и любых заданных аналитически, графически или таблично значениях входной величины .

Решение разностного уравнения дает значения выходной величины лишь в дискретные моменты времени t = kT. Во многих случаях этого вполне достаточно для суждения о поведении системы. Если же возникает необходимость в получении информации об изменении выходной величины в любой момент времени, то используется смещенная последовательность

или в сокращенной записи , где ε – параметр, которому можно придавать любые значения в пределах 0 ≤ ε ≤ 1. Если ε изменять непрерывно в указанных пределах, то совпадает с y (t).