Лекция 4. По-прежнему будем рассматривать сосуд с идеальным газом

Распределение Гиббса.

По-прежнему будем рассматривать сосуд с идеальным газом. Выделим в этом сосуде пространственный объём

,

,

,

.

В пространстве скоростей выберем некоторый объем , который характеризуется

,

,

.

Вероятность того, что произвольно выбранная молекула попадет в этот интервал:

Сделаем переход от пространства скоростей к пространству импульсов:

.

Тогда:

.

В пространственном объеме выделим элементарный объем.

Вероятность того, что произвольно выбранная молекула имеет такие координаты:

,

где - общее число молекул в сосуде.

Допустим, что в некоторой бесконечно малой области объема известна концентрация , потенциальная энергия молекул в этой области. Тогда с помощью закона распределения Больцмана:

,

где - потенциальная энергия в выделенном объеме.

Вероятность того, что произвольно выбранная молекула одновременно принадлежит интервалу импульсов и интервалу координат (эти два события не зависят друг от друга):

.

;

;

Т. к. , обозначим через :

;

Т. к. :

.

Произведение формально можно воспринимать как элемент объема в шестимерном пространстве.

Число молекул в сосуде частиц, в результате получается огромное число элементарных объемчиков.

Присвоим каждому объемчику номер, так же присвоим номера молекулам.

В рамках классической физики это допускается, т. е. две молекулы различны.

Вероятность что молекула с номером 1 попадет в объемчик с тем же номером 1:

.

Вероятность события, что одновременно все молекулы попадут в объемы с такими же номерами что и у молекул:

.

Обозначим вероятность этого события через :

,

,

где - полная энергия, - элемент -мерного пространства, , можно всегда представить в виде , - некоторая величина, которая должна иметь наименование энергии, т. е. величина измеряется в единицах энергии. получило название свободной энергии.

Тогда:

(**) - распределение Гиббса.

В -мерном пространстве в каждый момент времени можно выделить точку, которая соответствует значениям координат и импульсов точек системы в этот момент времени.

Т. к. частицы системы находятся в непрерывном хаотическом движении, то точка описывает некоторую траекторию в -мерном пространстве.

Распределение Гиббса – это есть вероятность того, что система попадает в объемчик .

Если температура системы не меняется, и система является изолированной, то вероятность оказаться в любом объемчике одинакова.

Проинтегрируем выражение (**):

( вытекает из того, что ).

.

- интеграл состояния.

,

.

Проинтегрируем:

,

.