Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Максвелловское распределение молекул по скоростям в идеальном газе.






    Статистическая физика.

    Лекция №1.

    Введение.

    Одним из основных понятий статистической физики является понятие «идеального газа». В рамках классической модели под идеальным газом будем понимать газ из мельчайших частиц – молекул, которые находятся в состоянии прямолинейного равномерного движения. В идеальном газе взаимодействие между молекулами на расстоянии отсутствует.

    Между молекулами возможны и происходят абсолютно упругие удары, при которых частицы обмениваются энергией (потерь энергии не происходит). В общем случае частицы находятся в состоянии хаотического движения, скорости частиц меняются непредсказуемым образом.

    Объектом рассмотрения будет являться идеальный газ, находящийся в замкнутом объеме, при этом температура окружающей среды полагается неизменной (система находится в термостате). В такой системе распределение частиц по скоростям остается неизменным, хотя скорости отдельно взятых молекул меняются.

    Нашей задачей является получение аналитического выражения этой зависимости.

     

    Максвелловское распределение молекул по скоростям в идеальном газе.

    Введем декартово пространство скоростей. Выделим некоторый интервал скоростей .

    Какова вероятность того, что произвольно выбранная молекула будет иметь проекцию скорости, попадающую в этот интервал? Обозначим эту вероятность , введем функцию . Тогда вероятность будет зависеть от:

    . (*)

    Рассуждая аналогичным образом для других проекций:

    : ;

    : .

    Выделим на рисунке соответствующую область. Запишем выражение того события, сто произвольно выбранная молекула попадает в объем

    : .

    Учитывая, что значения проекций скоростей молекул друг от друга не зависят, то вероятность того, что значения проекций в некоторый момент времени попадают в указанные интервалы, можно записать:

    - согласно закону теории вероятности, как 3 независимых друг от друга события.

    .

    С другой стороны: .

    Предположим: .

    Тогда оба требования удовлетворяются:

    .

    Выражение через экспоненту противоречит смыслу выражения (*), т. к. с ростом скорости возрастает и вероятность , что в действительности не так.

    Установить данное противоречие можно, поставив знак «-»: .

    Тогда с возрастанием скорости вероятность будет уменьшаться.

    В математике известен - интеграл Пуассона.

    Проинтегрируем выражение (*):

    .

    Данный интеграл отражает вероятность того события, что значение у произвольно выбранной молекулы будет находиться в пределах . Очевидно, что вероятность этого события равна 1. поэтому разделим обе части этого равенства на правую часть:

    ,

    .

    Аналогичные рассуждения справедливы для двух других проекций.

    ;

    ;

    ;

    .

    Где - функция распределения.

    Для выяснения вида параметра проведем следующие рассуждения: сделаем рисунок объема, в котором находится газ. Выделим некоторую молекулу, у которой проекция скорости , находящаяся недалеко от боковой грани .

    Предположим, что на своем пути молекула не испытывает соударений. Т. к. удар абсолютно упругий, то изменение импульса у частицы после удара будет .

    Из школьного курса (II закон Ньютона): ,

    ;

    ;

    .

    Где - сила, с которой молекула действует на стенку, - время.

    ;

    .

    Моменту времени можно поставить в соответствие некоторое расстояние . Условно выделим на рисунке соответствующее расстояние и объем. В выделенном объеме кроме выбранной нами молекулы существует еще много других молекул, проекция скорости которых .






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.