Матрицы Фибоначчи и новая теория кодирования

Q-матрица

В последние десятилетия «Теория чисел Фибоначчи» дополнилась новыми математическими результатами. Одним из них является теория матрицы специального типа, названной Q-матрицей [79]. Последняя представляет собой простейшую квадратную матрицу размером 2´ 2 следующего вида:

(110)

Заметим, что детерминант Q- матрицы равен -1, то есть,

Но какое отношение имеет Q -матрица к числам Фибоначчи? Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно возвести Q -матрицу в n- ю степень. Тогда мы получим [79]:

(112)

где F_{n- 1}, F_n, F_{n+ 1} числа Фибоначчи.

Используя (111), легко доказать, что детерминант матрицы (112) задается выражением:

где n – целое число.

С другой стороны, детерминант матрицы (112) можно вычислить непосредственно из матрицы (112). Тогда с учетом (113) можно записать следующее выражение для детерминанта:

Det Qn = Fn- 1 Fn+ 1 — = (-1) n.

(114)

Напомним, что тождество (114), задающее связь трех соседних чисел Фибоначчи, было выведено еще в 17-м веке знаменитым астрономом Кассини; поэтому формула (114) называется также «формулой Кассини» [65]. Отсюда вытекает, что Q- матрица выражает одно из наиболее важных свойств чисел Фибоначчи, задаваемое (114), а свойство Q -матрицы, задаваемое (113), можно рассматривать как компактную запись «формулы Кассини»!

Обобщенные матрицы Фибоначчи

Можно использовать идею «фибоначчиевой» Q- матрицы (110) для получения обобщенных матриц Фибоначчи. В работе [48] ведена в рассмотрение квадратная матрица специального типа, которая названа Q_p-матрицей:

(115)

где индекс p принимает следующие значения: 0, 1, 2, 3, ….

Заметим, что Q_p -матрица представляет собой квадратную матрицу размером (p+ 1)´ (p+ 1). Она содержит единичную (p´ p)-матрицу, ограниченную последней строкой типа 100...00, и первым столбцом типа 100..01. Для случаев p = 0, 1, 2, 3, 4 Q_p -матрицы имеют следующий вид соответственно:

Q ₀ = (1); ; ;

; .

Основным результатом работы [48] является доказательство следующего выражения для Q_p -матрицы, возведенной в степень n:

(116)

где р = 0, 1, 2, 3, …, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …, а элементами матрицы являются р- числа Фибоначчи, задаваемые рекуррентным соотношением (45) при начальных условиях (46).

В работе [48] доказано также, что детерминант матрицы (116) задается следующим выражением:

Det = (-1) pn,

(117)

где p = 0, 1, 2, 3, …; n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Таким образом, в работе [48] разработана теория квадратных матриц, обладающих уникальным математическим свойством: согласно (117) детерминант любой такой матрицы всегда равен по абсолютной величине 1, а знак единицы зависит от произведения двух целых чисел p´ n (р = 0, 1, 2, 3, …, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3). Если это произведение является четным, то детерминант матрицы (116) равен +1, в противном случае детерминант равен -1.

Обобщение формулы Кассини

Ясно, что матрица (116), обладающая уникальным математическим свойством (117), представляют фундаментальный интерес для теории матриц и могут быть использованы для расширения «фибоначчиевых» исследований. При этом выражение (117) можно рассматривать как обобщение «формулы Кассини» (113). Например, для случая р= 2 обобщенная «формула Кассини» выглядит следующим образом:

Det = F2 (n+ 1)[ F2 (n- 2) F2 (n- 2)- F2 (n- 1) F2 (n- 3)] + +F2(n)[ F2 (n) F2 (n- 3)- F2 (n- 1) F2 (n- 2)] + + F2 (n- 1)[ F2 (n- 1) F2 (n- 1)- F2 (n) F2 (n- 2)] = 1.

(118)

Подобно «формуле Кассини» (114), задающей связь между тремя соседними числами Фибоначчи, формула (118) связывает пять соседних 2-числа Фибоначчи F₂ (n- 3), F₂ (n- 2), F₂ (n- 1), F₂ (n) и F₂ (n+ 1) для любого заданного числа n (n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …).

Подчеркнем еще раз, что обобщенных «формул Кассини», подобных (118) и основанных на (117), теоретически бесконечно, причем их столько же, сколько существует натуральных чисел, поскольку р= 1, 2, 3,....

Новая теория кодирования

Матрицы Фибоначчи (116) привели к созданию новой теории кодирования, описанной в книге [14]. Суть метода кодирования, основанного на использовании матриц Фибоначчи (116), состоит в представлении исходного сообщения в виде матрицы М размером (р+ 1)´ (р+ 1) и ее умножении на кодирующую матрицу типа (116); при этом декодирование состоит в умножении кодовой матрицы Е на декодирующую матрицу .

Кодирование	Декодирование
M´ = E	E´ = M

Исходная матрица М связана с кодовой матрицей Е следующим свойством. Вычислим детерминант исходной матрицы М, равный числу Det M, а затем найдем детерминант кодовой матрицы Det Е. Согласно теории матриц, эти детерминанты связаны соотношением:

Det Е = Det (M´ ) = Det M´ Det

(119)

Если теперь воспользоваться тождеством (117), то мы получаем следующее тождество, связывающее детерминанты матриц М и Е:

где p = 0, 1, 2, 3, …; n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Тождество (120), связывающее детерминанты матриц М и Е, является «основным контрольным соотношением», что приводит к весьма эффективному способу обнаружения и коррекции ошибок в кодовой матрице Е.