Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Уникальные математические свойства Золотой Пропорции
|
|
Как известно, золотая пропорция t = 
является положительным корнем следующего квадратного уравнения:
| x 2 = x + 1 | (13) |
Заметим, что очень часто золотую пропорцию обозначают также греческой буквой F (число PHI). Эта буква является первой буквой в имени знаменитого греческого скульптора Фидия (Phidius), который широко использовал золотое сечение в своих скульптурных произведениях.
Если корень t подставить вместо x в уравнение (1.2), то мы получим следующее замечательное тождество для золотой пропорции:
| t 2 = t + 1. | (14) |
Если все члены тождества (14) разделить на t, то мы придем к следующему выражению для t:
| (15) |
которое может быть представлено и в следующем виде:
| (16) |
Если в правую часть выражения (1.4) вместо t подставить его значение, задаваемое тем же выражением (1.4), то мы придем к представлению t в виде следующей «многоэтажной» дроби:
.
Если продолжить такую подстановку в правой части бесконечное число раз, то в результате получим «многоэтажную» дробь с бесконечным количеством «этажей»:
| (17) |
Представление (17) в математике называется непрерывной или цепной дробью.
Рассмотрим теперь еще раз тождество (14). Если взять корень квадратный из правой и левой частей тождества (14), то получим следующее выражение для t:
| (18) |
Если теперь в правой части выражения (18) вместо t подставить его же выражение, задаваемое (18), то получим следующее:
| (19) |
Если в правой части тождества (19) опять подставить выражение (18) вместо t и повторить эту операцию бесконечное число раз, то мы получим еще одно замечательное представление золотой пропорции в «радикалах»:
 .
| (20) |
Каждый математик интуитивно стремится выразить свои математические результаты в наиболее простой, компактной форме. И если такую форму удается найти, то это доставляет математику «эстетическое наслаждение». В этом отношении (стремление к «эстетическому» выражению математических результатов) математическое творчество подобно творчеству композитора или поэта, главной задачей которых является получение совершенных музыкальных или поэтических форм, доставляющих «эстетическое удовольствие». Заметим, что формулы (17) и (20) доставляют нам «эстетическое наслаждение» и вызывают неосознанное чувство ритма и гармонии, когда мы начинаем задумываться над бесконечной повторяемостью одних и тех же простых математических элементов в формулах для t, задаваемых (17), (20).
Если теперь взять за основу тождество (14) и затем умножить многократно члены тождества (14) на t, а затем разделить многократно члены тождества (14) на t и устремить этот процесс до бесконечности, то мы придем к следующему изящному тождеству, связывающему степени золотой пропорции:
| t n = t n -1 + t n -2, | (21) |
где число n является целым и пробегает значения в пределах от +¥ до -¥, то есть n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….
Тождество (21) словесно можно выразить следующим образом: «Любая целая степень золотой пропорции равна сумме двух предыдущих». Оно часто называется «свойством аддитивности» золотой пропорции.
Но с другой стороны, любая степень золотой пропорции связана с предыдущей степенью «мультипликативным соотношением», то есть,
| t n = t ´ t n -1< /SUP< TD> | (22) |
>.
Это свойство называют «свойством мультипликативности» золотой пропорции.
Рассмотрим теперь последовательность степеней «золотой пропорции», то есть,
{... t --n,
| face=" Symbol" > t -(n- 1), …, t -2, t -1, t 0 = 1, t 1, t 2, …, t n -1, t n, | (23) |
…}.
Последовательность (23) обладает весьма интересным математическим свойством. С одной стороны, последовательность (23) является геометрической прогрессией, основанной на свойстве (22), то есть в ней каждый член равен предыдущему, умноженному на постоянное для данной прогрессии число t, называемое знаменателем геометрической прогрессии.
С другой стороны, в соответствии с (21) последовательность (23) обладает «свойством аддитивности», так как каждое число ряда (23) есть сумма двух предыдущих. Заметим, что свойство (21) характерно только для геометрической прогрессии со знаменателем t, и такая геометрическая прогрессия называется золотой прогрессией.
Поскольку каждой геометрической прогрессии типа (23) в геометрии соответствует некоторая логарифмическая спираль, то, по мнению многих исследователей, свойство (21) выделяет золотую прогрессию (23) среди других геометрических прогрессий и является причиной широкого распространения именно «золотой» логарифмической спирали в формах и структурах живой природы.
|
|