Троичная зеркально-симметричная арифметика

Троичная зеркально-симметричное представление

В 2002 г. известный международный журнал «The Computer Journal», официальный орган Британского компьютерного общества, опубликовал большую статью автора «Brousentsov’s Ternary Principle, Bergman’s Number System and Ternary Mirror-symmetrical Arithmetic» [48]. Статья вызвала большой интерес западных компьютерных специалистов. И первым ученым, кто откликнулся на эту публикацию, стал выдающийся американский ученый Дональд Кнут, широко известный в мире своими книгами по «искусству программирования». В своем письме к автору он высоко оценил новую компьютерную арифметику, а также сообщил, что он намерен включить ссылку на эту статью в новое издание своей знаменитой книги «Искусство программирования».

Для пояснения сути нового троичного способа представления чисел и новой троичной арифметики рассмотрим последовательность четных степеней золотой пропорции, то есть:

…t ⁶, t ⁴, t ², t ⁰, t ^-2, t ^-4, t ^-6, …,

где t — «золотая пропорция».

Эту последовательность мы будем использовать в качестве весов разрядов для необычного «троичного» представления целых чисел в виде:

(136)

где c_i – троичные цифры ` 1, 0, 1; t ^{2 i} – вес i- го разряда позиционного представления (136).

Из анализа выражения (136) вытекает, что основанием данной системы является иррациональное число

» 2, 618.

(137)

Анализ троичных представлений целых чисел, проведенный в [48], показал, что цифровая запись каждого целого числа в системе счисления (136) обладает следующим необычным свойством. Цифровая запись целого числа нулевым разрядом разбивается на две части: левую и правую. При этом левая часть числа является зеркальным отражением правой части числа относительно нулевого разряда! Это неожиданное свойство цифровых изображений целых чисел в системе счисления (136) было названо свойством зеркальной симметрии, а сама система счисления (136) — зеркально-симметричной.

В работе [48] разработана троичная зеркально-симметричная арифметика, то есть правила выполнения арифметических операций над целыми числами, представленными в системе счисления (136). При этом оказалось, что свойство «зеркальной симметрии» является «инвариантом» относительно всех арифметических операций над числами, выполняемыми в зеркально-симметричной системе счисления. А это означает, что найден новый универсальный способ контроля всех арифметических операций в компьютере, который может быть построен на основе зеркально-симметричной системе счисления.