Древнейшая научная парадигма в современной науке и математике

«Математическая Гармония» как всеобщее свойство Мироздания

Первый вывод, который мы можем сделать из пифагорейского учения о числовой гармонии Мироздания и его эволюции в последующие эпохи, состоит в следующем. Все исследователи понятия «Математическая Гармония Мироздания», начиная от Пифагора и Платона и заканчивая Лейбницем, Шефтсбери, Гегелем, Лосевым и Флоренским, сходятся в одном:

1. Гармония царит во всем мире, она является упорядочивающим и творческим началом всей природы и космоса.
2. Вся природа и искусство – это целесообразно и гармонично устроенное целое. И в природе и в искусстве отдельные вещи и явления существуют как часть целого, как момент в общей системе красоты и гармонии.
3. «Математическая Гармония» является объективным и всеобщим свойством Мироздания в целом и любой ее части в отдельности. Все структуры природы стремятся к «гармоничному», то есть «оптимальному» (с некоторой точки зрения) состоянию.

Иерархический принцип организации Мироздания

Как известно, природа широко использует «иерархический принцип» при создании своих структур. Согласно Платону, все в Природе создается путем «смешивания» первичных элементов. Что такое смешивание? «Элементы 1-го уровня», например, «элементарные частицы», вступая друг с другом в некоторые комбинаторные соотношения, образуют более сложные «устойчивые» структуры, которые называются «элементами 2-го уровня». Примерами «элементов 2-го уровня» могут быть атомы. «Элементы 2-го уровня» также вступают в комбинаторные соотношения и образуют более сложные «устойчивые» структуры, которые называются «элементами 3-го уровня» и т.д. Их примером могут быть молекулы. Далее таким же путем могут быть образованы более сложные структуры природы: кристаллы, растения, живые организмы, звезды, галактики и т.д. Таким образом, каждый «элемент n- го уровня» есть некоторая «устойчивая» комбинация элементов предыдущего уровня. Налицо «иерархический принцип» построения Мироздания.

В любом научном анализе бесконечное количество раз употребляются такие термины как «симметрия», «равновесие», «уравновешенность», «устойчивость», «баланс», «полнота», «целостность», «единство», «простота», «сложность» и т.д. И мы не всегда отдаем отчет в том, что все эти категории представляют собой модификацию более общей категории – гармонии. Учение о гармонии основывается на следующих важнейших положениях:

Для того, чтобы иерархическая система была устойчивой, каждый ее элемент на любом уровне ее организации должен быть «гармоничным» — это главное положение научной парадигмы, восходящей к Пифагору и Платону.

Не всякое сочетание элементов создает «гармоничную», то есть, «устойчивую» структуру. Для этого каждый элемент должен быть образован по «законам гармонии». Удивительное постоянство, с каким проявляются числа Фибоначчи и золотое сечение на всех уровнях организации природы (генетический код, фуллерены, квазикристаллы, филлотаксисные структуры, морфология человека, форма Земли, «золотая» спираль Галактики и др.) дают основания высказать гипотезу, что «Законы Гармонии» одни те же на всех уровнях организации природы.

Математическая теория гармонии» или «Математика Гармония», направленная на поиск «Математических Законов Гармонии», носит универсальный характер, то есть, приложима ко всем структурам природы на любых уровнях ее организации.

Важнейшие научные открытия 20-го века, связанные с Золотым Сечением

Квазикристаллы Дана Шехтмана. 12 ноября 1984 г. в небольшой статье, опубликованной в авторитетном журнале «Physical Review Letters» израильским физиком Даном Шехтманом, было предъявлено экспериментальное доказательство существования металлического сплава с исключительными свойствами. При исследовании методами электронной дифракции этот сплав проявил все признаки кристалла. Его дифракционная картина составлена из ярких и регулярно расположенных точек, совсем как у кристалла. Однако эта картина характеризуется наличием «икосаэдрической» или «пентангональной» симметрии, строго запрещенной в кристалле из геометрических соображений. Такие необычные сплавы были названы квазикристаллами. Менее чем за год были открыты многие другие сплавы подобного типа. Их было так много, что квазикристаллическое состояние оказалось намного более распространенным, чем это можно было бы представить.

Понятие квазикристалла представляет фундаментальный интерес, потому что оно обобщает и завершает определение кристалла. Теория, основанная на этом понятии, заменяет извечную идею о «структурной единице, повторяемой в пространстве строго периодическим образом», ключевым понятием дальнего порядка. Как подчеркивается в статье «Квазикристаллы» известного физика Д Гратиа [89], «это понятие привело к расширению кристаллографии, вновь открытые богатства которой мы только начинаем изучать. Его значение в мире минералов можно поставить в один ряд с добавлением понятия иррациональных чисел к рациональным в математике».

Фуллерены. Термином «фуллерены » называют замкнутые молекулы типа С₆₀, С₇₀, С₇₆, С₈₄, в которых все атомы углерода находятся на сферической или сфероидальной поверхности. В этих молекулах атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников или пятиугольников, которые покрывают поверхность сферы или сфероида. Центральное место среди фуллеренов занимает молекула С₆₀, которая характеризуется наибольшей симметрией и как следствие наибольшей стабильностью. В этой молекуле, напоминающей покрышку футбольного мяча и имеющую структуру правильного Архимедового усеченного икосаэдра, атомы углерода располагаются на сферической поверхности в вершинах 20 правильных шестиугольников и 12 правильных пятиугольников, так что каждый шестиугольник граничит с тремя шестиугольниками и тремя пятиугольниками, а каждый пятиугольник граничит с шестиугольниками.

«Фуллерены» по существу представляют собой «рукотворные» структуры, вытекающие из фундаментальных физических исследований. Впервые они были синтезированы в 1985 учеными Г. Крото и Р. Смолли (получившими в 1996 г. Нобелевскую премию за это открытие). Но в 1992 их неожиданно обнаружили в породах докембрийского периода, то есть фуллерены оказались не только «рукотворными», но природными образованиями. Российские ученые А.В. Елецкий и Б.М. Смирнов в своей статье «Фуллерены», опубликованной в журнале «Успехи физических наук» (1993, том 163, №2), отмечают, что «фуллерены, существование которых было установлено в середине 80-х, а эффективная технология выделения которых была разработана в 1990 г., в настоящее время стали предметом интенсивных исследований десятков научных групп. За результатами этих исследований пристально наблюдают прикладные фирмы. Поскольку эта модификация углерода преподнесла ученым целый ряд сюрпризов, было бы неразумным обсуждать прогнозы и возможные последствия изучения фуллеренов в ближайшее десятилетие, но следует быть готовым к новым неожиданностям».

Фибоначчиевые резонансы генетического кода. А теперь расскажем об одном научном открытии, устанавливающим связь генетического кода с числами Фибоначчи и золотым сечением. В 1990 г. французский исследователь Jean-Claude Perez, работавший в тот период научным сотрудником фирмы IBM, сделал весьма неожиданное открытие в области генетического кодирования. Он открыл математический закон, управляющий самоорганизацией оснований (нуклеотидов) Т, С, А, G внутри ДНК. Он обнаружил, что последовательные множества нуклеотидов ДНК организованы в структуры дальнего порядка, называемые РЕЗОНАНСАМИ. Резонанс представляет собой особую пропорцию, обеспечивающую разделение ДНК в соответствии с числами Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …).

Ключевая идея открытия Jean-Claude Perez, названного ДНК SUPRA-кодом, состоит в следующем. Рассмотрим любой отрезок генетического кода, состоящий из базисов типа Т, С, А, G, и пусть длина этого отрезка равна числу Фибоначчи, например, 144. Если число оснований типа Т в рассматриваемом отрезке ДНК равно 55 (число Фибоначчи) и суммарное число оснований типа А, С и G равно 89 (число Фибоначчи), то рассматриваемый отрезок генетического кода образует резонанс, то есть, резонанс есть пропорция между тремя соседними числами Фибоначчи (55-89-144). Открытие состоит в том, что каждая ДНК образует множество резонансов рассмотренного вида, то есть, как правило, отрезки генетического кода длиной, равной числу Фибоначчи F_n, разбиваются золотым сечением на множество оснований типа Т (число которых в рассматриваемом отрезке генетического кода равно F_{n- 2}) и суммарное множество остальных оснований (число которых равно F_{n- 1}). Если произвести систематическое исследование всех возможных «фибоначчиевых» отрезков генетического кода, тогда получим некоторое множество резонансов, называемое SUPRA-кодом ДНК.

Начиная с 1990 г., указанная закономерность была многократно проверена и подтверждена многими выдающимися биологами. Несомненно, что рассматриваемое открытие относится к разряду «стратегических» открытий в области ДНК, определяющих развитие генной инженерии. По мнению автора открытия Jean-Clode Perez SUPRA-код ДНК является универсальным био-математическим законом, который указывает на высочайший уровень самоорганизации нуклеотидов в ДНК согласно принципу «Золотого Сечения».

Удивительное открытие Jean-Clode Perez позволяет сделать интересный вывод, касающийся аналогии между музыкой, поэзией, рыночными процессами («волны Эллиотта») и генетическим кодом. Несомненным является тот факт, что «гармония» этюдов Шопена, стихов Пушкина или «волн Элиотта», в которых «Золотое Сечение» наблюдается многократно, сходна «гармонии» генетического кода, в котором «фибоначчиевые резонансы», лежащие в основе ДНК SUPRA-кода, многократно наблюдаются как во всей молекуле ДНК, так и в каждой ее части.

Закон структурной гармонии систем. Одним их крупнейших современных научных открытий не только в области «Теории Золотого Сечения», но и науки вообще, является «Закон структурной гармонии систем», сформулированный в конце 20-го века белорусским философом Эдуардом Сороко [75]. Главная идея Сороко состоит в том, чтобы рассмотреть реальные системы с «диалектической точки зрения». Как известно, всякий объект природы может быть представлен как диалектическое единство двух противоположных сторон A и B. Это диалектическая связь может быть выражена в следующем виде:

A + B = U (univesum)

Указанное равенство является наиболее общей формой выражения так называемого закона сохранения. В процессе самоорганизации система переходит в некоторое гармоничное состояние, когда между противоположными частями A и B устанавливается некоторое количественное отношение, выражаемое числом, равным «обобщенной золотой пропорции». Суть этого закона в формулировке Сороко состоит в следующем: «Обобщенные золотые сечения суть инварианты, на основе и посредством которых в процессе самоорганизации естественные системы обретают гармоничное строение, стационарный режим существования, структурно-функциональную... устойчивость».

Но самое главное, что «теория Сороко» полностью согласуется с основными математическими результатами «Математической теории гармонии», согласно которой существует бесконечное число «гармонических пропорций», в соответствии с которыми Природа осуществляет конструирование своих объектов.

Математическая теория гармонии

«Математическая теория гармонии» представляет собой математическую дисциплину, которая отвлекается от качественной свойств эстетической гармонии, присущей произведениям искусства, и исследует «гармонию» с количественной точки зрения. Основой «математической теории гармонии» является комбинаторный анализ, в частности, треугольник Паскаля как главный математический объект комбинаторного анализа. Именно из треугольника Паскаля вытекают основные понятия «математической теории гармонии» такие как р-числа Фибоначчи, включающие числа Фибоначчи в качестве частного случая (р= 1 ), р-числа Люка, включающие числа Люка в качестве частного случая (р= 1 ), золотые р-пропорции, включающие классическую золотую пропорцию в качестве частного случая (р= 1 ), «золотые» алгебраические уравнения, включающие классическое уравнение золотой пропорции в качестве частного случая (р= 1 ).

В работе [54] представлена следующая иерархия математических понятий и теорий, образующих в совокупности «Математику Гармонии».

Биномиальная теорема, биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля → Числа Фибоначчи, Золотое Сечение → Числа Шпинадель-Татаренко → Р-числа Фибоначчи и Золотые р-сечения → Обобщенный принцип Золотого Сечения → «Золотые» алгебраические уравнения → Формулы Бине и гиперболические функции Фибоначчи и Люка → Теория формул Бине для р-чисел Фибоначчи и р-чисел Люка → Теория матриц Фибоначчи, основанная на р-числах Фибоначчи → Теория «золотых» матриц, основанная на гиперболических функциях Фибоначчи → Алгоритмическая теория измерения → Р-коды Фибоначчи и коды Золотой р-пропорции → Новая теория действительных чисел → Новая компьютерная арифметика и компьютеры Фибоначчи → Новая теория кодирования и криптографии, основанная на матрицах Фибоначчи и «золотых» матрицах

«Золотые» проекты

Из приведенной выше иерархии вытекает, что Математика Гармонии, несомненно, является новой междисциплинарной теорией современной науки, которая может стать источником следующих «золотых» проектов современной науки и культуры:

1. Теория вероятностей. Невозможно переоценить методологическое значение глубокой математической связи обобщенных чисел Фибоначчи и «Обобщенного Принципа Золотого Сечения» с треугольником Паскаля и биномиальными коэффициентами. Ясно, что эта связь может стать началом переосмысливания многих разделов математики и теоретической физики, в которых комбинаторные соотношения играют определяющую роль, в частности, теории вероятностей и статистических законов.
2. Теория чисел. Как упоминалось выше, новое «конструктивное» определение действительного числа, задаваемое (96), имеет «стратегическое» значение для развития теории чисел. Выражение (96) задает бесконечное число «конструктивных» определений действительного числа, основанных на понятии золотой p- пропорции. И каждое из определений (96), соответствующих различным р (р= 0, 1, 2, 3,....), «генерирует» свою оригинальную теорию действительных чисел. Z- свойство натуральных чисел является примером новых теоретико-числовых результатов, которые следует ожидать из такого подхода.
3. Теория измерения. Как известно, теория измерения, основанная на аксиомах Евдокса-Архимеда и Кантора, является одной из фундаментальных теорий математики. В этой связи алгоритмическая теория измерения, изложенная в работах автора [8-10] представляет фундаментальный интерес для развития математики.
4. Теория систем счисления. Созданные в рамках Математики Гармонии системы счисления с иррациональными основаниями или коды золотой р-пропорции являются принципиально новым классом систем счисления, переворачивающим наши представления о теории систем счисления, которая является одной из наиболее древних математических теорий.
5. Теория элементарных функций. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка являются новым классом «элементарных функций» и имеют «стратегическое» значение для развития современной математики и теоретической физики. Можно ожидать появление следующих математических теорий «космологического» характера из этого подхода: (1) «Золотая» геометрия Лобачевского; (2) «Золотая» геометрия Минковского как «золотая» интерпретация специальной теории относительности Эйнштейна.
6. Теория чисел Фибоначчи. Математика Гармонии создает новые стимулы для развития «теории чисел Фибоначчи». Прежде всего, понятия р-чисел Фибоначчи и р-чисел Люка значительно расширяют класс рекуррентных числовых рядов. С другой стороны, гиперболические функции Фибоначчи и Люка превращают теорию чисел Фибоначчи в «непрерывную» теорию, что позволят применить здесь математический аппарат «непрерывной» математики, в частности, дифференцирование и интегрирование. Наконец, новая теория формул Бине для р-чисел Фибоначчи и р-чисел Люка значительно расширяют направление «фибоначчиевых» исследований.
7. Теория матриц. Матрицы Фибоначчи (116) и «золотые» матрицы, задаваемые (125), (126), обладают уникальными математическими свойствами. Ясно, что изучение нового класса квадратных матриц («матриц с единичным детерминантом») и поиск их приложений в современной науке может стать интересным направлением в теории матриц.
8. Физика, кристаллография, астрономия. Анализ литературы свидетельствует о повышенном интересе современной теоретической физики, кристаллографии и теоретической астрономии к золотому сечению [89-97]. Работы Шехтмана, Бутусова, Mauldin и William, El Naschie, Владимирова и других физиков показывают, что невозможно вообразить дальнейшее развитие теоретической физики и космологических исследований без Золотого Сечения. В этой связи особый интерес представляет статья проф. Ель Нашие [95], в которой показано, что все основные физические константы могут быть выражены через Золотую Пропорцию. Известный российский физик-теоретик проф. Владимиров Ю.С. заканчивает свою книгу «Метафизика» [97] следующими примечательными словами: «Таким образом, можно утверждать, что в теории слабых взаимодействий возникает соотношение Золотого Сечения, которое играет важную роль в различных сферах Науки и Искусства».
9. Ботаника. Новая геометрическая теория филлотаксиса, изложенная в книге доктора искусствоведения, профессора О.Я. Боднара «Золотое Сечение и неевклидова геометрия в Природе и Искусстве» [81], является блестящим подтверждением эффективности приложения гиперболических функций Фибоначчи и Люка для моделирования ботанического явления филлотаксиса. В этой книге Боднар подтвердил гипотезу В.И. Вернадского о неевклидовом характере геометрии живой природы.
10. Биология. Деление клеток является одной из актуальных проблем биологии. В ряде совремннных работ доказано, что деление клеток является «асимметричным» и основано на p- числах Фибоначчи. В этой связи фундаментальный интерес представляет изложенный [54] «Принцип асимметрии живой природы», основанный на p- числах Фибоначчи. Этот результат может стать началом новой математической теории деления биологических клеток и развития биологических популяций.
11. Медицина. Российский биолог Виктор Цветков в своей книге «Сердце, Золотое Сечение и Симметрия» (1997) показал, что сердечная деятельность млекопитающихся подчиняется закону Золотого Сечения. В этой связи необходимо привлечь внимание к активизации медико-биологических исследований в современной науке. В работах докторов медицинских наук Субботы А.Г. (Санкт-Петербург), Шапаренко П.Ф. и Гуминского Ю.И. (Винница) выполнен широкий комплекс исследований по приложению обобщенных золотых сечений в морфологии человека.
12. Компьютеры. «Арифметика Фибоначчи» и «золотая» арифметика, изложенные в многочисленных публикациях автора, в частности, книге «Коды Золотой Пропорции» [10] и статьях [21, 23, 25, 28, 29, 33, 44, 48], могут стать началом новых компьютерных проектов (помехоустойчивый процессор Фибоначчи, троичный самоконтролирующийся зеркально-симметричный процессор и т.д.). 65 зарубежных патентов, выданных патентными ведомствами США, Японии, Англии, Германии, Франции, Канады и других стран, являются юридическими документами, подтверждающими приоритет советской науки в этой важной компьютерной области.
13. Измерительные системы. Новая теория измерения, цифровой метрологии и «золотых» резистивных делителей, изложенные в работах автора [8, 27, 30, 54], является теоретической основой для создания «золотых» измерительных систем и устройств. Эффективность такого подхода подтверждена рядом инженерных разработок, выполненных под руководством автора в Винницком политехническом институте [12]. Разработанный еще в 80-е годы самокорректирующийся 18-разрядный АЦП для преобразования звуковых сигналов на тот период являлся одной из лучших разработок в этой области не только в СССР, но и за рубежом.
14. Системы связи. Выше показано, что матрицы Фибоначчи и «золотые» матрицы являются математической основой новой теории кодирования [14, 41, 60], которая может эффективно использоваться для обнаружения и коррекции ошибок и криптографической защиты цифровых сигналов. Следует отметить, что в последние годы значительные результаты в применении золотого сечения и чисел Фибоначчи в теории систем связи получены проф. Н.Ф. Семенюта (Гомель) и полковником С.А. Ясинским (Санкт-Петербург), автором книги «Прикладная «золотая» математика и ее приложения в электросвязи» (2004).
15. Философия. Закон структурной гармонии систем, сформулированный белорусским философом Э.М. Сорокой в его книге «Структурная гармония систем» [75], можно рассматривать как одно из значительных достижений современной философии. По существу, «Закон Сороки» является блестящим подтверждением эффективности приложения «Обобщенного Принципа Золотого Сечения» к теории самоорганизующихся систем
16. Психология. Густав Фехнер (1801-1887) был одним из тех немногочисленных немецких ученых, чьи исследования, выполненные в XIX в., заложили фундамент современной экспериментальной психологии. Знаменитые «Опыты Фехнера» были направлены на выявление у взрослых людей чувства прекрасного, гармонии. Всем участникам опыта (228 мужчин и 119 женщин) предлагалось оценить эстетические качества десяти белых прямоугольников с отношением сторон от 1: 1 (квадрат) до 2: 5. Опыты оказались чрезвычайно благоприятными для «золотого» прямоугольника. В современной науке идеи Фехнера развивает американский психолог Владимир Лефевр. Теория Лефевра весьма оригинально объясняет нам появление Золотого Сечения в «задаче выбора», когда субъект автоматически, то есть без участия сознания, всегда делает свой выбор в соответствии с принципом Золотого Сечения! Этот парадоксальный вывод может иметь весьма неожиданные приложения к так называемым «бихевиористским», то есть, «поведенческим» наукам. Одной из таких теорий является «Теория волн Эллиотта», активно развиваемая в американской науке.
17. Триалектика. Современное стремление к синтезу, к целостности знаний привело к появлению интереса к идее тринитарности или триалектики [98], корни которой уходят далеко вглубь тысячелетий. Архетип триединства, проявляясь в разных формах, становится объединяющим ядром новой парадигмы. В многочисленных работах российского философа П.Я. Сергиенко, с которыми можно познакомиться на сайте «Академия Тринтаризма», убедительно показана глубокая связь триалектики с Золотым Сечением. Развитие этой идеи может иметь «стратегическое» значение для развитии современной науки.
18. Технология структурно сложных продуктов. «Закон структурной гармонии систем», сформулированный белорусским философом Эдуардом Сороко [75], имеет прямое отношение к Технологии, в частности к технологии производства структурно-сложных продуктов. Поскольку большинство веществ, используемых в быту и производстве, представляют собой структурно сложные составы, смеси, соединения простых компонентов, то «закон структурной гармонии систем» может оказать огромное «оптимизирующее» воздействие на развитие этой области технологии (производство металлических сплавов, пищевая промышленность, парфюмерия, виноделие, производство табачных изделий, фармацевтика и др.).
19. Экономика и системный анализ. В работах многих современных авторов, в частности, в книге А. С. Харитонова [99], предприняты попытки системного единства природы, человека и общества с использованием «Принципа Золотого Сечения». Весьма характерной в этом отношении является статья Забродоцкого Ю.Н. «Теория наступления и контр-наступления в финансово-экономической войне – фондирование и контр-фондирование» [100]. Обсуждая фундаментальные основы фондо-рыночных механизмов хозяйствования, Забродский подчеркивает: «Только вопрос жизни и смерти здесь решается путем обеспечения конкурентоспособности и жизнеспособности, в том числе за счет тех, у кого эта наука хуже. Именно поэтому находки и открытия этой науки стараются сохранить в тайне. Главные из этих тайн находятся в области энергоинформационных обменов в Природе и обществе. Вот одна из этих тайн: Произведение двух иррациональностей в виде Ф´ ф = 1= Фⁿф^-n= 1ⁿ. (Ф= 1, 618, ф=0, 618 – Золотое Сечение – А.С.). Иначе говоря, масштаб системы не имеет значения. Более того, иррациональное так относится к рациональному, как рациональное к иррациональному! Верно и обратное. Это — Закон Единого». Таким образом, одна из тщательно сохраняемых тайн фондо-рыночных механизмов хозяйствования – это «Закон Золотого Сечения»!
20. Музей Гармонии и Золотого Сечения. Проект такого Музея в 2001 г. выставлен на Интернете [56] (авторы Алексей Стахов и Анна Слученкова). Музей Гармонии и Золотого Сечения является уникальным научным, историческим, природным и художественным музеем, которому нет аналогов в мировой культуре. Музей представляет собой коллекцию всех созданий природы, науки и искусства, основанных на Золотом Сечении.
21. Наука о Гармонии Систем. Математика Гармонии является математической основой для развития Науки о Гармонии Систем, которая может стать главной интегрирующей наукой 21-го века, который, как известно, является «веком Гармонии». В этом направлении следует отметить упомянутый выше цикл фундаментальных исследований, выполненных в последние годы российским философом П.Я. Сергиенко, опубликованных на сайте «Академия Тринитаризма».