Математическая теория гармонии

Математический анализ понятия «Гармония»

Как известно, математика изучает количественные аспекты того или иного явления. И начиная математический анализ понятия гармонии, мы должны сконцентрировать наше внимание на количественных аспектах этого понятия. Что такое гармония с количественной точки зрения? Чтобы ответить на это вопрос, мы начнем с выяснения исходного значения слова «Гармония». Как известно, слово «Гармония» имеет греческое происхождение. При этом греческое слово a r m o u i a означает связь, согласие.

Существуют различные определения понятия «Гармония». Однако большинство из них сводятся к приведенному выше определению, взятому из Большой Советской Энциклопедии (см. выше).

Анализ значения слова «Гармония» и его определения показывает, что наиболее важными, «ключевыми» понятиями, которые лежат в основе этого понятия, являются следующие: связь, согласие, комбинация, упорядоченность.

Возникает вопрос: какой раздел математики изучает подобные понятия? Поиски ответа на этот вопрос приводят нас к комбинаторному анализу. Как известно, «комбинаторика занимается различного вида сочетаниями (соединениями), которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combinary – сочетать, соединять».

Из этого рассмотрения вытекает, что латинское слово combinary и греческое слово a r m o u i a имеют близкие значения и могут быть переведены как комбинация илисоединение. Это дает нам право выдвинуть гипотезу, что именно «Законы комбинаторного анализа» могут быть использованы для создания «математической теории гармонии».

Основные понятия комбинаторики

Начнем с изложения основных понятий комбинаторики. Как известно, комбинаторика занимается различного вида сочетаниями, которые можно образовать из элементов некоторого множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во 2-м веке до н.э. Индусы умели вычислять числа, которые мы обозначаем , то есть сочетания из n элементов, взятых по m, и знали формулу

+ + … + = 2 n.

(34)

Предполагают, что индусские математики изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стихов и поэтических произведений, например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы, состоящей из n слогов.

Термин «комбинаторика» стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1666 году работы «Рассуждение о комбинаторном искусстве», в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением «размещений» впервые занимался Якоб Бернулли во второй части своей знаменитой книги «Ars conectandi» («Искусство предугадывания»), опубликованной в 1713 г. Он же ввел соответствующий термин и употреблял в нашем смысле также термин «перестановка». Термин же «сочетание» ввел Б. Паскаль в своем «Трактате об арифметическом треугольнике» (1665 г.).

Бином Ньютона

Слово «бином» (от латинского bis – дважды и греческого «номос» — член) означает «двучлен».

Запишем следующие выражения:

Заметим, что первые два выражения из (35) тривиальны, а остальные два нам хорошо известны из курса алгебры средней школы.

Возникает вопрос: чему равно (a+b)ⁿ? Ответ на этот вопрос дает знаменитая математическая формула, известная под названием «Бинома Ньютона», представляющая разложение целой положительной степени n бинома a+b:

(a+b) n = an + an- 1 b + an- 2 b 2 + … + an-kbk + … + abn- 1 + bn.

(36)

В этой формуле появляются любопытные коэффициенты , которые называются биномиальными коэффициентами.

Заметим, что в названии «Бином Ньютона» заключена историческая несправедливость, так как эта формула была известна задолго до Ньютона многим ученым разных стран, в том числе Ал-Каши, Тарталье, Ферма, Паскалю. Заслуга Ньютона состоит в том, что он распространил ее на любое действительное число n, то есть он показал, что формула (36) верна и тогда, когда n является рациональным или иррациональным, положительным или отрицательным.

Формулы (35) являются частными случаями общей формулы (36). В частности, при n=1 формула (36) принимает вид:

(a+b)¹ = a + b = 1a + 1b,

откуда вытекает, что =1 и =1.

При n=2 формула (36) принимает вид:

(a+b)² = a² + ab + b² = 1a² + 2ab + 1b²,

откуда вытекает, что = 1, = 2, = 1.

Таким образом, разложение (36) легко получить, если мы научимся вычислять биномиальные коэффициенты .

Треугольник Паскаля

Ответ на вопрос, как найти значение для любых целых неотрицательных n и k еще в 17 в. дал знаменитый французский физик и математик Блез Паскаль (1623-1662). Паскаль обнаружил, что биномиальные коэффициенты обладают следующими замечательными свойствами:

= = 1; = ;

(37)

= + .

(38)

Последнее свойство (38) называется также законом Паскаля. Именно используя соотношение (38), Паскаль предложил изящный способ вычисления биномиальных коэффициентов, расположив их в виде треугольной таблицы чисел, называемой треугольником Паскаля. Суть этого способа состоит в следующем. Рассмотрим бесконечную таблицу чисел, построенных по «закону Паскаля»

Треугольник Паскаля

Верхняя строку указанной таблицы будем считать нулевой строкой. Здесь находится единственный биномиальный коэффициент =1. Следующая строка, называемая первой, состоит из двух единиц, симметрично расположенных относительно единицы нулевой строка. Это — биномиальные коэффициенты = 1 и = 1. Каждая последующая строка состоит из двух единиц, расположенных по ее краям (это биномиальные коэффициенты типа = 1 и = 1); каждое «внутреннее» число этой строки формируется из двух чисел предыдущей строки, стоящих над этим числом слева и справа относительно этого числа, по «закону Паскаля» (38). Легко доказать следующие свойства «Треугольника Паскаля»:

1. Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2ⁿ, что соответствует формуле (34).
2. Все строки треугольника Паскаля симметричны, что вытекает из свойства (37).

Прямоугольный Треугольник Паскаля

Возникает вопрос: какое отношение треугольник Паскаля имеет к числам Фибоначчи и золотому сечению? Оказывается – самое непосредственное. Более того. Именно треугольник Паскаля и является источником новых математических результатов, которые были положены автором настоящей статьи в основу Математики Гармонии [47].

Как известно, существует много различных форм представления треугольника Паскаля. В нашем исследовании мы будем использовать таблицу биномиальных коэффициентов, называемую прямоугольным треугольником Паскаля.

Прямоугольный треугольник Паскаля

Такая таблица начинается с «нулевого столбца», который содержит единственный биномиальный коэффициент = 1 и из «нулевого ряда», который содержит биномиальные коэффициенты: = 1, = 1, = 1, = 1,..., = 1,.... Заметим, что «гипотенуза» прямоугольного треугольника Паскаля состоит из биномиальных коэффициентов типа =1, =1, =1,...., = 1,....

Заметим также, что в n-м столбце сверху вниз расположены следующие биномиальные коэффициенты: , , , ,..., ; при этом все клетки под «гипотенузой» являются «пустыми». Это означает, что все диагональные коэффициенты типа (m> n) тождественно равны нулю, то есть,

= 0 при m> n.

(39)

Тогда, если просуммировать биномиальные коэффициенты n-го столбца рассматриваемого треугольника Паскаля, то согласно (32) мы получим «двоичное число» 2ⁿ. Если это сделать для всех столбцов, начиная с нулевого, то мы получим широко известный нам «двоичный ряд чисел»:

Таким образом, мы можем утверждать, что треугольник Паскаля «генерирует» двоичный ряд чисел!

1-треугольник Паскаля

А теперь сдвинем каждый ряд исходного треугольника Паскаля на один столбец вправо относительно предыдущего ряда. В результате такого преобразования мы получим некоторый «деформированный» треугольник Паскаля, который мы будем называть 1-треугольником Паскаля..

1-треугольник Паскаля

Если мы теперь просуммировать биномиальные коэффициенты 1-треугольника Паскаля по столбцам, то, к нашему изумлению, мы обнаружим, что такое суммирование приведет нас к числам Фибоначчи:

где через F₁(n+1) обозначено (n+1)-е число Фибоначчи, которое задается с помощью следующей рекуррентной формулы:

; 2

при следующих начальных условиях:

Анализируя 1-треугольник Паскаля, легко вывести математическую формулу, которая позволяет выразить числа Фибоначчи через биномиальные коэффициенты:

(44)

В результате проведенных рассуждений мы нашли, что существует два способа представления чисел Фибоначчи: в виде рекуррентной формулы (42), (43) и в виде формулы (44), выражающей числа Фибоначчи через биномиальные коэффициенты.

Полученный математический результат был найден во второй половине 20-го столетия многими математиками-фибоначчистами практически одновременно. Но для нашего исследования этот результат имеет принципиальное значение. Мы обнаружили числа Фибоначчи при исследовании треугольника Паскаля, то есть, математического объекта, который считается одним из главных математических объектов комбинаторного анализа. И этот результат подтверждает правильность нашей главной «методологической идеи» о том, что основой «Математической теории гармонии» является комбинаторный анализ.

Р-треугольники Паскаля

А теперь «закрепим наш успех» и покажем, что треугольник Паскаля является источником новых математических результатов, которые представляют интерес для комбинаторного анализа. Для этого продолжим наши «манипуляции» с треугольником Паскаля. Если теперь в исходном треугольнике Паскаля сдвинуть биномиальные коэффициенты каждого ряда на р столбцов (р=0, 1, 2, 3,...) вправо относительно предыдущего ряда, то мы получим новый «деформированный» треугольник Паскаля, который мы назовем р-треугольником Паскаля.

Нетрудно показать (или догадаться), что суммирование биномиальных коэффициентов р-треугольника Паскаля приведет нас к некоторому новому числовому ряду, который задается следующим рекуррентным соотношением:

К числовым рядам, задаваемым формулами (45), (46), автор пришел еще в 1977 г. [8]. Эти числовые ряды были названы в [8] p-числами Фибоначчи.

В книге [8] выведена формула, задающая p-числами Фибоначчи через биномиальные коэффициенты:

(47)

А теперь посмотрим, во что вырождаются общие формулы (45), (46) и (47) при различных значениях р. Ясно, что для случая р=0 рекуррентная формула (45) и начальные условия (46) принимают следующий вид:

Нетрудно догадаться, что рекуррентная формула (48) при начальном условии (49) «генерирует» двоичные числа (40), которые и являются крайним частным случаем р-чисел Фибоначчи, соответствующим значению р=0. При этом формула (47) вырождается в формулу (32), которая была известна в Индии уже во 2-м веке до н.э.

Ясно, что при р=1 общая рекуррентная формула (45), (46) сводится к рекуррентной формуле (42), (42) для классических чисел Фибоначчи (41); эта формула была выведена Фибоначчи еще в 13-м веке при исследовании «задачи о размножении кроликов». При этом формула (47) вырождается в формулу (44). Таким образом, исследование треугольника Паскаля, проведенное в [8], привело к открытию бесконечного числа рекуррентных числовых рядов, задаваемых формулой (47), которая выражает новые свойства треугольника Паскаля и представляет общематематический интерес.

Отношения соседних р-чисел Фибоначчи

Образуем теперь числовые последовательности, которые состоят из отношений соседних р-чисел Фибоначчи, то есть, отношений типа F_p(n)/F_p(n-1).

Начнем с простейшего случая р=0. Для этого случая р-числа Фибоначчи сводятся к классическим двоичным числам (40). Рассмотрим числовую последовательность, состоящую из отношений соседних двоичных чисел:

Ясно, что любой член последовательности (50) всегда равен 2.

Рассмотрим теперь случай р=1. Как было установлено, в этом случае р-числа Фибоначчи совпадают с классическими числами Фибоначчи (41), из которых мы можем образовать следующую числовую последовательность:

Еще Кеплер установил, что числовая последовательность (51) выражает так называемый «закон филлотаксиса», то есть важную числовую закономерность, которая лежит в основе большинства «плотноупакованных» ботанических структур типа сосновой шишки, ананаса, головки подсолнечника, кактуса и т.д., то есть эта последовательность широко используется Природой (или Богом) при конструировании ботанических структур. С другой стороны, эта последовательность стремится к Золотой Пропорции t = , которая является корнем «уравнения золотого сечения»:

В общем случае (для заданного целого р=0, 1, 2, 3,...) исследуя отношения соседних р-чисел Фибоначчи F_p(n)/F_p(n-1), мы придем к следующему алгебраическому уравнению:

Положительный корень этого уравнения t _р было названо в [8] обобщенной золотой пропорцией или золотой р-пропорцией.

Подведем некоторые итоги. Из проведенного исследования вытекает, что треугольник Паскаля, который нам известен, по крайней мере, с 17-го столетия, хранит много интересных тайн, одну из которых мы только что раскрыли. Суть этого открытия состоит в том, что треугольник Паскаля «генерирует» бесконечное число новых рекуррентных числовых последовательностей, которые названы р-числами Фибоначчи. Кроме того, исследование р-чисел Фибоначчи привело нас к открытию нового класса иррациональных чисел t _р, которые мы назвали золотыми р-пропорциями. С увеличением р золотая р-пропорция становится все меньше и в предельном случае (р® ¥) t _р ® 1.

С учетом вышеизложенного можно привести значения золотых р-пропорций для некоторых значений р.

Золотые р-пропорции

Таким образом, между числами 2 и 1 находится бесконечное число новых иррациональных чисел, золотых р-пропорций, которые выражают более сложные «гармонии», чем классическая золотая пропорция t = 1, 618. То есть, золотых пропорций существует бесконечное количество. И все они имеют одинаковое право выражать «Математическую гармонию». Это – первый методологический вывод, который вытекает из «Математики Гармонии» [47].

Исследование свойств р-чисел Фибоначчи изолотых р-пропорций, которые выражают «Математическую гармонию», и их приложений и является главной задачей новой математической теории – «Математики Гармонии» [47].

Геометрическая формулировка задачи о золотом р-сечении

А теперь сформулируем «задачу о золотом р-сечении» геометрически. Как известно [78-80], «золотое сечение» отрезка АВ точкой С представляет собой его деление на две неравные части АС и СВ так, чтобы выполнялась следующая пропорция:

(54)

Эта задача допускает следующее обобщение [8]. Зададимся целым неотрицательным числом р=0, 1, 2, 3,... и разделим отрезок AВ точкой C в следующей пропорции:

(55)

Если обозначить и учесть, что АВ = АС + СВ, то отношение можно представить в виде:

(56)

Учитывая введенное выше обозначение и пропорцию (55), выражение (56) можно записать в виде:

,

откуда непосредственно вытекает алгебраическое уравнение (53), полученное нами при исследовании отношений соседних р-чисел Фибоначчи.

Это означает, что деление отрезка в отношении (55) является делением отрезка в золотой р-пропорции t _р.

Заметим, что пропорция (55) сводится к «дихотомии» (то есть к делению отрезка пополам) для случая p = 0 и к классическому золотому сечению для случая p = 1. Учитывая это обстоятельство, деление отрезка AB точкой C в отношении (55) было названо в [8] золотым p-сечением.

Некоторые алгебраические свойства золотой р-пропорции

Подставляя золотую р-пропорцию t _р вместо x в уравнение (53), получим следующее тождество для золотой р-пропорции:

.

(57)

Разделив все члены тождества (57) на , получим следующие замечательные свойства золотой р-пропорции:

(58)

и

.

(59)

Заметим, что для случая р=0 (t ₀=2) тождества (58) и (59) вырождаются в следующие тривиальные тождества:

и 2 – 1 = .

При р=1 , а тождества (58), (59) вырождаются в замечательные тождества (15), (16), хорошо известные в теории золотого сечения.

Будем теперь многократно умножать и делить все члены тождества (57) на t _р; в результате получим следующее замечательное тождество, связывающее степени золотой р-пропорции:

.

(60)

Таким образом, введенное выше понятие «золотой р-пропорции», действительно, представляет общематематический интерес, поскольку «теория «золотой р-пропорции» включает в себя в качестве частных случаев теорию двоичных чисел и теорию классической золотой пропорции.

Обобщенный принцип Золотого Сечения

Рассмотрим основное тождество для золотой р-пропорции, задаваемое (60). Разделим все члены тождества (60) на . В результате получим следующее тождество, задающее «Единицу»:

.

(61)

Используя (60), (61), можно сконструировать следующую «динамическую» модель разложения «Единицы» по степеням золотой р-пропорции:

(62)

Основным результатом проведенного исследования, изложенном в [54], является получение весьма общего тождества, позволяющего представить «Единицу» как сумму степеней золотой р-пропорции:

,

(63)

Заметим, что при р=0 тождество (63) принимает следующий вид:

(64)

Известно [83], что тождество (64) выражает так называемый «Принцип дихотомии», который пришел к нам из античной науки («Апории Зенона») и который широко используется в математике и других науках.

Наконец, при р=1 тождество (63) принимает вид:

(65)

Заметим, что тождество (65) выражает так называемый «Принцип Золотого Сечения» [83], который также пришел к нам из античной науки.

Следовательно, тождество (63) задает нам более общий научный принцип деления целого на части, который назван в [54] «Обобщенным Принципом Золотого Сечения». Еще раз подчеркнем, что этот общий принцип содержит в себе в качестве частных случаев «Принцип Дихотомии» (р=0) и «Принцип Золотого Сечения» (р=1), и следовательно, он имеет такое же важное методологические значение, как «Принцип Дихотомии» и «Принцип Золотого Сечения».

«Золотые» алгебраические уравнения

Алгебраическое уравнение (53), выведенные нами при исследовании р-чисел Фибоначчи, является уравнением (р+1)-й степени и имеет, следовательно, р+1 корней x₁, x₂, x₃, …, x_p, x_p+1. В дальнейшем будем считать, что корень x₁ всегда совпадает с золотой р-пропорцией t _p, то есть, x₁ = t _p. Из уравнения (53) непосредственно вытекает следующее тождество, справедливое для любого из его корней x₁, x₂, x₃, …, x_p, x_p+1:

(66)

где n = 0, ±1, ±2, ±3, …; x_k – корень уравнения (53); k = 1, 2,..., р+1.

В работе [51] доказаны следующие необычные свойства корней уравнения (53):

х₁х₂х₃х ₄...х_р-1х_рх _{р +1} = (-1)^p (67)

Кроме того, доказано [51], что для заданных целых р=1, 2, 3,... и k=1, 2, 3, …, p для корней уравнения (53) выполняется следующее тождество:

В работе [51] доказано также, что существует бесконечное число алгебраических уравнений, производных от «золотого» уравнения (53), причем все они имеют общий корень – золотую р-пропорцию t _p. Общий вид такого уравнения имеет вид:

(69)

где F_p(n-р+1) и F_p(n-р-t) – р-числа Фибоначчи, задаваемые (45), (46), n³ р+1.

В частности, для случая р=1 общее уравнение (68) принимает следующий вид:

где F_n, F_n-1 – числа Фибоначчи.

При n=4 уравнение (73) сводится к следующему уравнению:

Уравнения (71) приводит нас к неожиданному результату, значение которого выходит за пределы математики. Оказывается, что уравнение (71) описывает энергетическое состояние молекулы бутадиена – ценного химического вещества, которое используется при производстве каучука. Известный американский физик, Лауреат Нобелевской Премии Ричард Фейнман выразил свое восхищение по поводу уравнения (71) в следующих словах: «Какие чудеса существуют в математике! Согласно моей теории золотая пропорция древних греков дает минимальное энергетическое состояние молекулы бутадиена».

Этот факт сразу же повышает наш интерес к «золотым» алгебраическим уравнениям, задаваемым (69) и (70). Возможно, что именно эти уравнения могут быть использованы в качестве «золотых» математических моделей энергетических состояний молекул других физических веществ.

Обобщенные формулы Бине для р-чисел Фибоначчи и р-чисел Люка

Как упоминалось выше, формулы (11), (12), выведенные еще в 19 в. известным французским математиком Бине, является ли едва ли не самыми знаменитыми формулами «теории чисел Фибоначчи» [78-80]. Возникает вопрос, а нельзя ли вывести подобные формулы для р-чисел Фибоначчи? Эта задача была решена Стаховым и Розиным в работе [52]. В этой работе выведены обобщенные формулы Бине, позволяющие представить аналитически р-числа Фибоначчи через корни «золотого» алгебраического уравнения (53). Доказано [52], что для заданного целого р> 0 любое р-число Фибоначчи F_p(n) (n=0, ±1, ±2, ±3, …) может быть выражено через корни «золотого» алгебраического уравнения (53) в следующем виде:

где x₁, x₂, …, x_p+1 — корни «золотого» алгебраического уравнения (53), а k₁, k₂, …, k_p+1 – постоянные коэффициенты, которые являются решением системы уравнений:

В частности, при р=1 р-числа Фибоначчи сводятся к классическим числам Фибоначчи F_n и для этого случая выражение (72) сводятся к хорошо известному в «теории чисел Фибоначчи» [78-80] выражению:

где x₁, x₂ – корни алгебраического уравнения (13), задаваемые выражениями:

x 1 = ; x 2 = ,

(75)

а коэффициенты k₁, k₂ являются решениями системы уравнений:

В результате решения системы уравнений (76) мы получаем следующие выражения для коэффициентов k₁ и k₂:

k 1 = ; k 2 = .

(77)

Подставляя выражения (75), (77) в формулу (74), получим хорошо известную формулу Бине для чисел Фибоначчи:

.

(78)

Как известно [78-80], числа Люка L_n могут быть выражены через корни x₁, x₂ следующем образом:

(79)

В работе [52] доказано, что сумма n-х степеней корней x₁, x₂, …, x_p+1 «золотого» алгебраического уравнения (53) задает новый класс рекуррентных числовых последовательностей, названных в [52] р-числами Люка L_p(n), где р=1, 2, 3,..., то есть,

С использованием свойств корней алгебраического уравнения (53), задаваемых (66)-(67), доказано [28], что числовая последовательность, задаваемая (80), может быть также вычислена по рекуррентной формуле:

при следующих начальных условиях:

Табл. 5 задает значения р-чисел Люка для начальных значений р=1, 2, 3, 4.

Таблица p-чисел Люка

Таким образом, основным результатом работы [52] является обобщение формул Бине и открытие нового класса рекуррентных числовых последовательностей, обобщенных чисел Люка, задаваемых (80)-(83), которые, вполне вероятно, могут быть использованы в качестве моделей явлений окружающего нас мира.

Золотые р-пропорции и «Сакральная Геометрия»

Введенные выше новые математические понятия, в частности, такие как р-числа Фибоначчи, золотые р-пропорции, гиперболические функции Фибоначчи и Люка, имеют много интересных приложений в математике. Начнем с такого древнего математического учения как «Сакральная Геометрия». В брошюре автора «Сакральная Геометрия и Математика Гармонии» [20], которое затем была выставлена на сайте «Академия Тринитаризма» [62], показано, что понятие золотой р-пропорции имеет прямое отношение к сакральной геометрии [84].

Рассмотрим «золотой р-прямоугольник» [20, 62], в котором отношение сторон равно:

t _p: 1, где t _p – золотая р-пропорция.

Золотой р-прямоугольник

Напомним, что существует бесконечное число «золотых р-прямоугольников», поскольку р может принимать значения из множества р=0, 1, 2, 3,.... Рассмотрим теперь, к чему сводится «золотой р-прямоугольник» для частных случаев значения р. Пусть р=0. В этом случае золотая 0-пропорция t ₀ = 2 и тогда золотой 0-прямоуголник будет представлять собой ни что иное, как широко известный «двойной» квадрат, который считается священной фигурой и порождает «священное число» (диагональ «двойного» квадрата). Пусть теперь р=1. В этом случае «золотой р-прямоугольник» сводится к такой «священной фигуре» как классический «золотой прямоугольник» с отношением сторон t = . Это число, «золотая пропорция», считается в сакральной геометрии «священным числом». Наконец, при р ® ¥ t _p ® 1 и тогда «золотой р-прямоугольник» вырождается в такую «священную фигуру» как квадрат, который связан со «священным числом» (диагональ квадрата).

Таким образом, по крайней мере, три (, , ) из пяти основных геометрических отношений сакральной геометрии [84] имеют непосредственное отношение к понятию «золотая р-пропорция», которое является одним из важнейших понятий Математики Гармонии. Это означает, что Математика Гармонии может быть использована для развития сакральной геометрии. Одно из радикальных предложений состоит в том, чтобы золотые р-пропорции (р=0, 1, 2, 3,...) ввести в священную геометрию в качестве основных отношений сакральной геометрии.