Металлические средние» или числа Шпинадель-Татаренко

В конце 20-го века в «теории чисел Фибоначчи» возник спор об авторстве одного математического открытия, имеющего важное значение для «теории чисел Фибоначчи». Суть спора описана в статье автора [64], выставленной на сайте «Академия Тринтаризма». В конце 20-го столетия известный аргентинский математик Вера Шпинадель описала семейство новых числовых пропорций, названных «металлическими средними». Впервые «металлические средние» были описаны Верой Шпинадель в 1997 г. в работе [85], а в книге [86], изданной в 1998 г. и переизданной в 2004 г., профессор Вера Шпинадель дала детальное изложение своего научного открытия.

Шпинадель обобщает рекуррентное соотношение Фибоначчи (2) следующим образом. Рассмотрим рекуррентное соотношение следующего типа:

где p и q – натуральные числа. Ясно, что при p = q = 1 рекуррентная формула (84) сводится к рекуррентной формуле (2). При заданных начальных условиях G(1) и G(2) и заданных p и q рекуррентная формула (84) «генерирует» бесконечное число рекуррентных числовых последовательностей, называемых обобщенными числами Фибоначчи.

Далее Шпинадель исследует предел, к которому стремится отношение двух соседних обобщенных чисел Фибоначчи, задаваемых рекуррентной формулой (84), и доказывает, что это отношение при разных p и q задает «Семейство Металлических Средних», которые являются положительными решениями следующего квадратного уравнения:

Как известно, решение алгебраического уравнения (85) известно каждому школьнику. Положительный корень уравнения (85) задается следующей формулой:

(86)

Наиболее интересным случаем «металлических пропорций», задаваемых (86), является случай, когда q=1. Для этого случая уравнение (85) принимает вид:

а положительное решение этого уравнения («металлическая пропорция» s _p¹) может быть представлено в виде следующей цепной дроби:

(88)

Ясно, что при р=1 цепная дробь (88) сводится к цепной дроби (17), задающей классическую золотую пропорцию.

При р=2 цепная дробь (88) принимает следующий вид:

(89)

«Металлическую пропорцию» s ₂¹, задаваемую цепной дробью (89), Вера Шпинадель называет серебряным средним или серебряной пропорцией.

Используя выражение (86), легко вычислить значение «серебряной пропорции» s ₂¹, которая может быть представлена в виде следующего выражения:

(90)

Интрига, однако, состояла в том, что независимо от Веры Шпинадель к «металлическим пропорциям» типа (88) пришел российский ученый Александр Татаренко, который в своей первой статье на эту тему [87], опубликованной в 1999 г., назвал их T_m-гармониями, то есть «Гармониями Татаренко».

Оценивая значение своего математического открытия, Шпинадель и Татаренко пришли к диаметрально противоположным выводам. К чести Веры Шпинадель, она очень осторожно и трезво оценила значение открытия с математической точки зрения. Сравнивая «металлические пропорции», задаваемые (88), с золотой пропорцией, задаваемой (17), она отдает решительное предпочтение классической золотой пропорции, называя ее «наиболее иррациональным числом из всех иррациональных». Это заключение она сделала на том основании, что непрерывная дробь (17) является наиболее медленно сходящейся непрерывной дробью – и это свойство классической золотой пропорции выделяет ее среди других «металлических пропорций» типа (88) и делает ее «единственной и неповторимой».

В отличие от Веры Шпинадель, А.А. Татаренко в своих статьях попытался возвести свои T_m-гармонии на уровень эпохального научного открытия, которое, по мнению Татаренко, является «важнейшим научным прорывом на пути к Истине о Гармонии Мира, сравнимым со сменой птоломеевского геоцентризма на гелиосистему Коперника».

Если оставить на совести Татаренко его оценки T_m-гармоний и извлечь «сухой остаток» из исследований Шпинадель и Татаренко, то можно сделать следующий вывод, сделанный автором в заметке [88]: «Признать, что два ученых Вера Шпинадель (Аргентина) и Александр Татаренко (Россия) пришли к открытию новых числовых констант независимо друг от друга и практически одновременно. Поэтому они оба имеют право на это открытие. Предлагаю в дальнейшем называть новые числовые константы «числами Шпинадель-Татаренко».

Время покажет, являются ли «числа Шпинадель-Татаренко» эпохальным открытием, хотя никто не отрицает, что «числа Шпинадель-Татренко» – оригинальный результат, представляющий определенный интерес для теории Золотого Сечения.