Вправи для самостійного розв’язування. 1.Користуючись означенням похідної, знайти похідні функцій.

1. Користуючись означенням похідної, знайти похідні функцій.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) 4 9) ; 10) .

2. Тіло, яке вільно падає, рухається за законом , де м/ – прискорення вільного падіння. Знайти середню швидкість руху за проміжок часу з с до с, приймаючи с; 0, 1с; 0, 05с; 0, 001с; знайти швидкість тіла в кінці п’ятої та десятої секунди падіння. Визначити формулу для швидкості падаючого тіла у довільний момент часу .

3. У тонкому неоднорідному стрижні довжиною 30 см масу (у грамах) розподілено за законом , де – довжина частини стрижня, що відраховується від точки . Знайти: 1) середню лінійну густину стрижня: 2) лінійну густину: а) у точці, віддаленій від точці на відстань 5 см; б) у самій точці ; в) у точці .

4. Знайти похідні функцій.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12) ; 13) ;

14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ;

19) ; 20) ; 21) ;

22) ; 23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) ; 29) ;

30) ; 31) ; 32) ;

33) ; 34) ; 35) ;

36) ; 37) ;

38) ; 39) ; 40) ;

41) ; 42) ; 43) ;

44) ; 45) ; 46) ;

47) ; 48) ; 49) ; 50) .

5. Використовуючи логарифмічне диференціювання, знайти похідні функцій.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

6. Знайти похідні від функцій, які задано у параметричній формі.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

7. Знайти диференціали функцій.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

8. Обчислити наближено за допомогою диференціала.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .

9. Показати, базуючись на законі Ома , що мала зміна струму , яку зумовлено малою зміною опору , може бути знайдена за формулою: .

10. За законом Клапейрона об’єм , що його займає газ, тиск газу і абсолютна температура пов’язано формулою , де – універсальна газова стала. Знайти наближений вираз для приросту об’єму при зміні тиску на величину , вважаючи сталою температуру .

11. Скласти рівняння дотичної до графіка функції у точці з абсцисою .

1) , ; 2) , ; 3) , .

12. Знайти похідну -го порядку від функцій.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

13. Знайти похідну 3-го порядку від функцій.

1) ; 2) 4 3) ; 4) ; 5) .

14. Точка рухається прямолінійно за законом . В які моменти часу миттєве прискорення точки дорівнює нулю?

15. Точка рухається прямолінійно за законом . Знайти прискорення в кінці третьої секунди.

16. На дузі параболи , обмеженій точками і знайти точку, дотична в якій паралельна січній .

17. Сформулювати теорему Коші для функцій і на відрізку ; знайти значення .

18. Знайти границі за правилом Лопіталя.

1) . 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) ; 13) ; 14) ;

15) ; 16) ; 17) ; 18) .

19. Розкласти многочлен за цілими додатними степенями двочлена .

20. Написати формулу Тейлора -го порядку для функції , якщо . Записати формулу залишкового члена.

21. Написати формулу Маклорена 4-го порядку для функції .

22. Написати формулу Тейлора 3-го порядку для функції , якщо . Побудувати графік цієї функції та вказаного многочлена Тейлора.

23. Користуючись розвиненням за формулою Маклорена, обчислити границі.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

24. Користуючись формулою Маклорена 4-го порядку, наближено обчислити і оцінити похибку.

25. Обчислити за допомогою формули Маклорена з точністю до . Скільки для цього потрібно взяти у цій формулі членів?

26. Знайти екстремуми та інтервали монотонності функцій.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12) ; 13) .

27. Знайти точки перегину та інтервали опуклості та вгнутості графіка функції.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) ; 11) .

28. Знайти асимптоти графіків функцій.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

29. Провести повне дослідження та побудувати графік функції.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) ; 11) ;

12) ; 13) ; 14) ; 15) .

30. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) .

31. Число 48 розкласти на два доданки так, щоб їх добуток був найбільшим.

32. Число 30 розкласти на два доданки так, щоб сума їх кубів була найменшою.

33. Об’єм правильної шестикутної призми дорівнює . Якою має бути сторона основи, щоб повна поверхня призми була найменшою?

34. Знайти висоту конуса найбільшого об’єму, який можна вписати в кулю радіуса .

35. На гіперболі знайти точки, відстань від яких до прямої була б найменшою.

36. Канал, ширина якого 27 м, під прямим кутом впадає в інший канал, ширина якого 64 м. Якої найбільшої довжини стовбур можна сплавити цією системою каналів?

37. На сторінці книжки друкований текст повинен займати . Верхнє та нижнє поля мають бути по , праве і ліве – по . При яких розмірах сторінки на неї піде найменше паперу?

38. Завод потрібно сполучити шосейною дорогою з прямолінійним відрізком залізниці, на якій розташовано місто . Відстань від заводу до найближчої точки на залізниці дорівнює . Вартість перевезення по шосе в разів вища, ніж залізницею. В яку точку залізниці треба провести шосейну дорогу, щоб вартість перевезення була найменшою?

39. Знайти висоту, на якій слід підвисити лампу над круглим столом радіусу 80 см, щоб освітленість краю столу була найбільшою. Яскравість освітлення визначається формулою:

, де – кут нахилу променів, – відстань від джерела освітлення до площадки, – сила джерела світла.

40. Обчислити швидкість течії струменя газу, при якій питома витрата газу досягне максимуму. Питома витрата газу визначається формулою:

, де – густина газу, – швидкість течії, – максимальна швидкість течії газу.

Рекомендована література.