Найбільше та найменше значення функції.

Розглянемо функцію , яка неперервна на відрізку . Згідно з другою теоремою Вейєрштрасса (див. розділ «Вступ до аналізу») вона досягає на цьому відрізку свого найбільшого та найменшого значень. Поставимо задачу розшукання цих значень. Зрозуміло, що вони можуть досягатися або на кінцях відрізку , або в критичних точках функції, які знаходяться всередині відрізку, тобто на інтервалі . Звідси випливає алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку .

1). Знайти критичні точки функції .

2). Відібрати серед них ті, які знаходяться на інтервалі .

3). Обчислити значення функції в цих точках.

4). Обчислити значення функції в точках і .

5) Серед всіх знайдених в попередніх двох пунктах значень відібрати найбільше та найменше.

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .

1). Знайдемо критичні точки функції:

.

2). На інтервалі розташовано точки .

3). .

4) .

5). Отже .

Якщо функція неперервна тільки в інтервалі , то вона може і не досягати найбільшого та найменшого значень. Отримати інформацію про їх наявність можна дослідженям поведінки функції на кінцях інтервалу, обчислюючи та і знаходженням значень функції в критичних точках, які належать інтервалу .

Приклад. Знайти найменше та найбільше значення функції на інтервалі .

Дана функція не є неперервною на відрізку (розриви I роду в точках ), а на інтервалі неперервна. Знайдемо:

.

.

На інтервалі єдина критична точка , причому . При : ; при : . Таким чином, при переході через точку похідна функції змінює свій знак с плюса на мінус, отже в точці функція має локальний максимум. Таким чином, найбільше значення функції на інтервалі дорівнює , а найменшого нема.

До знаходження найменших та найбільших значень функції приводить велика кількість задач прикладного характеру.

Приклади.

1. Проектується канал зрошувальної системи, поперечний переріз якого є рівнобедрена трапеція (рис. 46). Ширина каналу по дну дорівнює , а глибина води . Яким повинен бути кут (див. рис. 41), щоб омита поверхня каналу була найменшою?

Рис. 41.

Бічна сторона даної трапеції очевидно дорівнює . Отже периметр, що омивається:

.

Кут .

Знайдемо: . Ця похідна дорівнює нулю при . Знайдемо:

.

Отже в точці периметр найменший, тобто поперечний переріз каналу повинен бути прямокутним.

2. З всіх прямокутників, які вписано в еліпс

знайти той, площа якого найбільша (рис. 42).

Рис. 42.

Оскільки прямокутника вписано в еліпс, то одна з вершин прямокутника лежить в першому квадранті. Позначимо її . Площа прямокутника дорівнює:

.

Очевидно, що , і таким чином треба знайти найбільше значення функції на відрізку . Для цього достатньо знайти найбільше на цьому відрізку значення функції .

Маємо: , і при , , . На інтервалі знаходиться лише точка . Знайдемо:

, отже і досягається він в точці . таким чином шуканий прямокутник має розміри , і його площа

.

Зокрема при (тобто, коли еліпс перетворюється на коло) найбільшу площу з вписаних прямокутників має квадрат.

3. Судина з вертикальною стінкою висотою стоїть на горизонтальній площині (рис. 43).

Рис. 43.

На якій глибині треба розмістити отвір, щоб дальність вильоту води з отвору була найбільшою?

Швидкість рідини, що витікає, за законом Торрічеллі дорівнює , де – прискорення вільного падіння. Позначимо через – дальність вильоту. Тоді , де – час вильоту з отвору на площину. З відповідного закону фізики відомо, що

, звідки

.

Тоді

.

Далі маємо:

; при .

Знайдемо:

Отже висота й є шуканою. Там досягається найбільше значення функції на відрізку .

Контрольні питання.