Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Деякі застосування формули Тейлора.
Розглянемо деякі з чисельних застосувань формули Тейлора. I. Наближене обчислення значень функції. Наближене обчислення значень функції за допомогою формули Тейлора полягає в тому, що значення функції у точці наближено замінюється значенням многочлена Тейлора (або Маклорена) для даної функції у цій точці. При цьому величина похибки оцінюється величиною залишкового члена формули Тейлора. Саме так робиться в програмах для сучасних комп’ютерів. Приклади. 1. Обчислити наближено , використовуючи для цього три члени розкладання за формулою Тейлора. Оцінити утворену похибку. Скористаємось наближеною формулою: . При цьому залишковий член у формі Лагранжа набуде вигляду: , де знаходиться між точками і . Маємо:
. Оцінимо похибку (тут ): . З урахуванням множника 3 похибка оцінюється так: . 2. Обчислити наближено число з точністю 0, 001. Скористаємось формулою Тейлора: , де , точка знаходиться між точками 0 та . Поклавши тут , матимемо: , (16.1) де . Оцінимо: . Підберемо з умови: . Тоді , звідки . Таким чином для досягнення заданої точності треба в формулі (16.1) покласти , тобто: . Аналогічним чином обчислюються наближені значення інших функцій. Наприклад, для функції для цього можна використати послідовні наближені формули, які отримуються з формули Маклорена для цієї функції, якщо в неї послідовно брати один, два, три члени: , , . Графіки функції та многочленів Тейлора , , , які послідовно наближають цю функцію, зображено на рис. 26.
Рис. 26.
II. Обчислення границь функцій. Нехай треба обчислити границю у випадку невизначеності типу . Припустимо, що функції та мають в точці похідні до деякого порядку включно. Тоді функції і у околі точці розкладають за формулою Тейлора, записуючи залишковий член у формі Пеано. Виникає границя, яка обчислюється простіше. Приклади. 1. Знайти . За формулою Маклорена маємо: , . Звідси отримаємо: . Тут ми скористалися тим, що . Розглянемо невизначеність типу . 2. . Маємо: . Тут використали рівності: .
|