Основні теореми диференціального числення

Теорема Ферма. Якщо диференційована функція у деякій точці С і інтервалу набуває свого найбільшого або найменшого значення, то в цій точці похідна дорівнює нулю:

Геометрично теорема Ферма означає, що в точках, де

функція набуває найбільшого та найменшого значень,

дотичні є горизонтальними.

РИС.23,

Теорема Ролля. Нехай задано функцію неперервну на відрізку і диференційовану на інтервалі Тоді, якщо то всередині відрізка знайдеться точка

така що

РИС.24

Геометрична інтерпретація теореми Ролля: якщо виконуються умови теореми Ролля, то знайдеться хоча б одна точка С, в якій дотична паралельна осі абсцис. У цій точці похідна й дорівнює нулю.

Теорема Лагранжа (про скінченні прирости функції). Нехай задано функцію неперервну на відрізку і диференційовану на інтервалі Тоді знайдеться точка така що похідна функції в цій точці дорівнюватиме відношенню тобто .

Геометрична інтерпретація теореми Лагранжа: на інтервалі знайдеться хоча б одна точка , в якій дотична є паралельною хорді, що сполучає кінці дуги функції на відрізку .

РИС.25.

Теорема Коші (про кінцеві прирости двох функцій). Нехай на відрізку задано дві функції і . Якщо ці функції неперервні на відрізку і диференційовані на інтервалі причому то на інтервалі існує точка така що .