Теорема о трех неподвижных точках.

Сейчас мы восполним один очень важный пробел. В статье 3 я без доказательства утверждал, что если у нас есть преобразование, полученное композицией инверсий и у него есть три неподвижные точки, то это преобразование – инверсия или тождественное движение. Сейчас я это докажу.

Обозначим эти неподвижные точки P, Q, S и проведем через них окружность I. сначала я докажу, что всякая точка окружности I остается неподвижной, если неподвижны P, Q, S. Обозначим наше преобразование точек f. Образ точки Х при преобразовании f это f(X). Т.к. f – композиция инверсий, то f отображает окружности в окружности и ортогональные окружности – в ортогональны окружности. Если точка Х лежит на одной окружности с P, Q, S то и f(X) лежит на той же окружности, т.к. f(X), f(P), f(Q), f(S) должны снова быть на одной окружности, но f(P)=P, f(Q)=Q, f(S)=S по условию, то это окружность I. Теперь я покажу, как построить, исходя из трех данных точек P, Q, S бесчисленное множество других точек, лежащих на I и также остающихся неподвижными при действии f.

Проведем через Р и Q окружность А ортогональную I. f(A) – снова окружность, причем она будет ортогональна I (т.к. f(I)=I) и проходящая через Р и Q (т.к. f(P)=P, f(Q)=Q). Такая окружность единственна, значит f(A)=A, т.е. А переходит в себя под действием f (но точки А могут меняться местами!). Теперь проведем через S окружность В, ортогональную I и А. Опять-таки – такая окружность единственна и т.к. f(I)=I и f(A)=A, то f(B)=B, она переходит в себя под действием f.

Окружность В пересекается с I в какой-то точке X1 (и, разумеется, в точке S). Покажем, что точка Х1 будет неподвижна под действием f, f(X1)=X1. Т.к. f(I)=I f(B)=B то точки пересечения I и B переходят в себя под действием f. Но одна из этих точек, S – неподвижна по условию. Значит и вторая, Х1 – также неподвижна (ей просто некуда больше переходить). итак, мы доказали, что если есть три неподвижные точки, P, Q, S, то есть и четвертая неподвижная точка Х1, лежащая на I.

Рисунок 8.

(Окружность I, лежащие на ней точки P, Q, S, построенные описанным выше способом окружности А и В и точка Х1.)

Заметим, что из статьи 5 следует, что Х1 это точка, симметричная S относительно биплета (пары точек) P и Q, также X1=A(S).

Теперь мы можем построить аналогично пятую, шестую и т.п. неподвижные точки (все они будут лежать на I). проведем окружность, ортогональную I не через Р и Q, а через Р и S и инвертируем относительно нее Q – получим X2, еще одну неподвижную точку, инвертируем Р относительно окружности, ортогональной I и проходящей через Q и S – получим Х3, также неподвижную под действием f. Мы можем выбрать любую пару неподвижных точек, а их уже шесть, инвертировать какую-нибудь из относительно окружности, ортогональной I и проходящей через любую пару неподвижны точек и получить новую неподвижную точку.

Докажем, что к любой точке Y на окружности I можно сколь угодно близко подойти по неподвижным точкам (получаемым описанным выше способом).

Рисунок 9.

(окружность I, расположенные по часовой стрелке точки P, X1, Q, X3, S, X2, Y, окружность Н, ортогональная Р и Х2, точка Н(Х3))

Выберем среди неподвижных точек пару таких, что между ними и Y еще нет неподвижных точек. На рис. 9 это точки Х2 и Р. Найдем точку по другую сторону дуги (Х2, Р) (ту сторону, где нет Y) неподвижную точку «подальше» от X2 и Р, например Х3. Проведем окружность Н через Х2 и Р ортогональную I и инвертируем относительно нее Х3. Н(Х3) – снова будет неподвижной точкой и лежит по ту же сторону от Х2 и Р что и Y. Теперь выберем среди трех точек Х2, Н(Х3), Р пару точек, между которыми лежит Y и сделаем с этой парой тоже самое – проведем через нее ортогональную I окружность, найдем неподвижную точку «подальше» от Y, инвертируем ее относительно проведенной окружности и так далее. На каждом этапе мы будем окружать Y все более близкими парами неподвижных точек. Что и требовалось.

Чтобы ускорить процесс, мы можем инвертировать относительно Н все точки, лежащие по другую сторону дуги (Х2, Y, P). Среди полученных образов выбрать пару, между которой лежит Y, а неподвижных точек – не существует. Построить ортогональную к I окружность, проходящую через эту пару, инвертировать все неподвижные точки относительно этой окружности и т.п.

Итак, мы показали, что сколь угодно близко к любой точке Y окружности I – есть неподвижные точки. Поскольку f – непрерывна, т.е. отображает близкие друг к другу точки снова в близкие друг к другу точки, то f(Y)=Y т.е. Y – тоже неподвижная точка отображения f. Значит, все точки окружности I остаются неподвижными под действием f. Покажем теперь, что если есть еще хоть одна неподвижная точка К вне I, то f – тождественное движение (т.е. неподвижна на всех точках плоскости).

Рисунок 10.

(Окружности I и O, точки пересечения этих окружностей G и V, точки К и Х лежащие на О.)

Пусть Х – произвольная точка плоскости, проведем через К и Х какую-нибудь окружность О, пересекающую I. Пусть F и V – точки пересечения. Они лежат на I, следовательно – неподвижны при действии f. Значит, на окружности О есть три неподвижные точки К, G и V. Но, мы показали, что если есть три неподвижные точки, то все точки на окружности, проходящей через эти три точки – неподвижны, значит и Х, лежащая на той же окружности, что К, G и V – неподвижна. при действии f. Что и требовалось.

Теперь докажем требуемое. Что f – или инверсия, или тождественное преобразование. Проведем через Х пару каких-нибудь окружностей О1 и О2, ортогональных I. f(O1)=O1, f(O2)=O2 (т.к. точки пересечения О1 и О2 с I – неподвижны и ортогональные окружности под действием f переходят в ортогональные окружности). Значит, точки пересечения О1 и О2 (одна из них Х) – либо меняются местами, либо остаются неподвижны. Если f(X)=X, то, по доказанному ранее, f – тождественное движение. Пусть f отображает Х во вторую точку пересечения О1 и О2.

Рисунок 11.

(Окружность I, точка Х вне ее, окружности О1 и О2 ортогональные I и проходящие через Х, вторая точка их пересечения Y.)

Вторая точка пересечения О1 и О2 и есть образ точки Х при инверсии относительно I. Значит, для произвольной точки Х f(X)=I(X). Что и требовалось: f – либо инверсия, либо тождественное движение.

Проанализируем и усовершенствуем доказанное. Мы доказали, что всякое взаимнооднозначное непрерывное отображение плоскости в себя, сохраняющее окружности (отображающее окружности в окружности) и отображающее ортогональные окружности в ортогональные имеющее три неподвижные точки – либо инверсия, либо тождественное движение. Сейчас я докажу, что в этой формулировке есть тавтология. Было сказано «…отображение, сохраняющее окружности и отображающее ортогональные окружности в ортогональные…» Я докажу, что всякое взаимно-однозначное отображение f, отображающее окружности в окружности – отображает ортогональные окружности в ортогональные. Доказательство, пожалуй, проще, чем сама формулировка. (Заметим, что аналогичное утверждение про прямые не плоскости неверно. Например, сжатие плоскости по одной из осей координат – отображает прямые в прямые, но перпендикулярные прямые перестают быть перпендикулярны).

В ст. 3 мы показали, что окружности, проходящие через три точки пересечения трех взаимнокасающихся окружностей – ортогональна им всем. Также было доказано, что если две ортогональные окружности А и В пересекаются в точках P и Q, то какие бы окружности С и D, касающиеся В в точках Р и Q мы не провели – если С и D касаются друг друга, то точка их касания лежит на А.

Рисунок 17.

(Три взаимнокасающиеся окружности С, D, В. Точки их касания P, Q, H, окружность А, проходящая через эти три точки.)

Теперь докажем требуемое. Пусть А и В – ортогональные окружности, Р и Q – точки их пересечения. Нам требуется доказать, что f(A) и f(B) ортогональны. Проведем еще окружности С и D, касающиеся В в точках Р и Q. Пусть C и D касаются друг друга в точке Н, лежащей на А. Рассмотрим f(A), f(B), f(C), f(D). Т.к. f переводит окружности в окружности и взаимно однозначно – f отображает касающиеся окружности в касающиеся окружности. Значит f(B), f(C), f(D) – снова тройка взаимнокасающихся окружностей. Т.к. А проходит через точки касания В, С, D, то f(A) проходит через точки касания f(B), f(C), f(D). Следовательно, f(A) – ортогональна всем трем окружностям: f(B), f(C), f(D). В том числе и f(B) – что и требовалось доказать.

Подведем итог. Мы доказали, что если непрерывное взаимнооднозначное отображение f отображает окружности в окружности и неподвижно на трех точках, то f – или инверсия или тождественное движение.

Необходимо уточненить про непрерывность. Если мы рассматирваем инверсии на плоскости, то, как было сказано, центр окружности, относительно которой осуществляется инверсия – переходит в бесконечно удаленную точку. Это создает разрыв отображения: точки, близкие к центру инверсии переходят в далекие друг от друга точки. Мы можем выйти из этого затруднения двояко: рассматривать все наши построения не на плоскости, а на сфере, а там инверсии и их композиции – будут непрерывны во всех точках. Либо заметить, что разрыв в одной точке не повлияет кардинально на наши рассуждения. Есть и третий способ рассуждения, «спасающий» доказательство: последовательность точек, стремящаяся к центру инверсии – перейдет в последовательность точек стремящуюся к бесконечно удаленной точке и тем самым непрерывность будет сохранена. Но этот способ треует слишком большого вторжения анализа в наши геометрические рассуждения.