Композиция пяти инверсий.

В этом разделе мы покажем, что композицию относительно пяти инверсий можно свести к композиции трех инверсий (соответственно композицию шести инверсий можно свести к композиции четырех инверсий). Наши рассуждения будут в большой степени аналогичны рассуждению о рис. 4. пусть у нас есть композиция пяти инверсий H=A*B*C*D*E. Мы возьмем инверсии (окружности) D и Е и будем поворачивать их так, чтобы D*E оставалось неизменным, а D приняло такое положение, что композиция A*B*C*D стала «удобной», сводимой к двум инверсиям. Или «вставим в запись H=A*B*C*D*E инверсию F: H=(A*B*C*F)*(F*D*E) так, что левая скобка сведется к двум инверсиям, а правая – к одной. Чтобы выяснить, как подобрать такое F, определим, когда композиция четырех инверсий A*B*C*D сводима к композиции двух инверсий.

Пара инверсий А и В задает некоторый пучок (или, пользуясь ст. 4 – прямую в проективном пространстве). Пара инверсий С и D – другой пучок. (Другую прямую в проективном пространстве). Если эти пучки соединимы (прямые в проективном пространстве пересекаются), то есть найдется инверсия I, лежащая в них обоих, то инверсию I мы и вставим в композицию A*B*C*D. A*B*C*D=А*В*(I*I)*C*D= (А*В*I)*(I*C*D). Т.к. все три инверсии в левой скобке – лежат в одном пучке, значит левая скобка – инверсия (действительная или мнимая). Так же и правая скобка. (ср. с рис. 4). Заметим, что если пучки (А, В) и (С, D) – оба действительны, то их соединимость означает просто, что точки пересечения А и В лежат на одной окружности с точками пересечения С и D.

Теперь рассмотрим композицию пяти инверсий H=A*B*C*D*E. чтобы свести ее к трем инверсиям, достаточно найти инверсию F, такую, что F лежит в пучке (D, E) и (А, В) и (С, F) – соединимы. В этом случае H=(A*B*C*F)*(F*D*E) сведется к композиции трех инверсий: левая скобка даст, как было показано, две, а правая скобка – одну инверсию. пользуясь моделью ст. 4 это делается совсем наглядно: инверсии А, В, С – точки в проективном пространстве, они лежат в некоторой плоскости. Найдем пересечение этой плоскости с прямой проективного пространства, проходящей через D и Е. Полученная точка F и определяет эту инверсию. Можно обойтись и без модели ст. 4. Но понадобится та часть ст. 4 где говорится о свойтсвах пучков и доказывается, что для любых трех инверсий – есть коммутирующая со всеми ними инверсия (если это не окружности, пересекающиеся в одной точке). Найдем удобный критерий того, что пара пучков соединима.

Как показывалось в ст. 2 или в ст. 4, если инверсия коммутирует с какими-то двумя инверсиями, то она коммутирует и со всеми инверсиями из пучка, порожденного ими. Итак, пусть пучки (А, В) и (С, D) соединимы. покажем, что есть инверсия, коммутирующая со всеми четыремя инверсиями А, В, С, D. Пусть F соединяет эти пучки. Тогда пучок (А, F) совпадает с пучком (А, В), пучок (С, F) с пучком (С, D). Для трех инверсий А, С, F существует инверсия, коммутирующая с ними. Обозначим ее I. I коммутирует с А и F, значит I коммутирует и с В, т.к В лежит в пучке (А, F), аналогично I коммутирует и с D, т.к. I коммутирует с С и F, а D лежит в пучке (C, F). Что и требовалось.

Докажем теперь обратное утверждение: если для инверсий А, В, С, D существует инверсия I коммутирующая со всеми ними, то пучки (А, В) и (C, D) – соединимы (здесь полезно вспомнить разные доказательства теоремы о пучках ст. 2 или вернуться к модели ст. 4. в этом случае А, В, С, D будут изображаться точками на одной плоскости и соединяющая их инверсия изобразится точкой пересечения прямых (А, В) и (С, D)). А сейчас мы докажем требуемое с помощью определения пучка через коммутирующие инверсии.

Пучок (А, В) задается парой инверсий, коммутирующих с А и В. Пусть одна из эти инверсий – I, коммутирующая с А, В, С, D (по условию, она существует)., вторая – H. Пучок (С, D) задается парой инверсий, коммутирующих с С и D, пусть опять-таки одна из них I, коммутирующая с А, В, С, D, а вторая G. Мы имеем три инверсии I, H, G. Существует инверсия F, коммутирующая со всеми ними. Она и будет соединять пучки (А, В) и (С, D). В самом деле, F коммутирует с I и H и потому лежит в пучке (А, В). F коммутирует с I и G и потому лежит в пучке (C, D). что и требовалось. Предоставляю читателю самостоятельно разобрать случай, когда I, H, G – пересекаются в одной точке.

Итак, мы доказали, что композицию четырех инверсий можно свести к двум в том случае, когда есть инверсия коммутирующая со всеми исходными четыремя инверсиями. Вернемся к нашей исходной композиции пяти инверсий: H=A*B*C*D*E. Пусть инверсия I коммутирует с А, В, С. В пучке (D, E) найдется инверсия F ортогональная (коммутирующая) I. Опять таки, проще всего это доказать, определив пучок (D, E) через пару инверсий, с которыми коммутируют все инверсии пучка (D, E). Искомая инверсия должна коммутировать с этой парой и I. Поскольку всегда есть инверсия, коммутирующая с тремя данными – такая инверсия F существует. Что и требовалось (опять-таки, предлагаю самостоятельно проанализировать случай, когда рассматриваемые окружности пересекаются в одной точке).

Теперь мы применим ставшее уже стандартным рассуждение: H=A*B*C*D*E= (A*B*C*F)*(F*D*E), где F – окружность, существование которой мы только что доказали. Т.к. I коммутирует с А, В, С, F то левая скобка сводится к двум инверсиям: (А, В) и (С, F) – соединимы. Правая скобка состоит из трех инверсий одного пучка, поэтому сводится к одной инверсии. Все выражение потому сводится к 2+1=3 инверсиям, что и требовалось. Отсюда, разумеется, следует, что композиция шести инверсий сводится к композиции четырех инверсий (композиция первых пяти, по доказанному, сводится к трем и обавляется еще одна, последняя инверсия, всего получается – четыре инверсии).