Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Плоская модель различных геометрий.






Плоская модель начинается так просто, что это даже забавно. Возьмем любые три окружности А, В, С. Назовем их «прямыми» геометрии, а пары точек их пересечения – «точками» геометрии. Также, «прямыми» геометрии назовем все окружности, лежащие в образованных тремя исходными пучках. Пару точек пересечения из получающегося семейства – называем «точкой» геометрии, любую окружность, проходящую через эту пару точек – «прямой» геометрии, также любая окружность из пучка, заданного двумя окружностями из семейства – также будет «прямой» геометрии. (заметим, что именно окружности мы включаем в «прямые» геометрии, мнимые инверсии мы в данном случае не рассматриваем).

А какой геометрии? Это зависит от расположения исходных окружностей А, В, С. Если они – Римановы (т.е. одна из трех окружностей разделяет точки пересечения двух других), то и геометрия получается Римановой. Если А, В, С – евклидовы (т.е. все три пересекаются в одной точке, то и геометрия получится евклидовой. Если же А, В, С – три окружности Лобачевского (т.е. ни одна окружность не разделяет точек пересечения двух других), то и геометрия получится Лобачевского. (См. ст. 6 про окружность, ортогональную трем данным).

Прежде все разберем случай евклидового расположения трех окружностей А, В, С. Пусть О – точка, в которой они все пересекаются. Легко видеть, что всякая окружность из семейства, построенного указанным выше способом – проходит через О. (И, наоборот, всякую окружность, проходящую через О, можно получить из А, В, С описанным способом). Осуществим какую-нибудь инверсию с центром в О. При этом все окружности семейства («прямые» геометрии) перейдут в прямые обычной евклидовой плоскости. А «точки» геометрии – это пары точек (Х, О) где Х – любая точка плоскости. После инверсии О перейдет в бесконечно удаленную, а Х – в какую-то другую точку плоскости. Мы можем оперировать с этой парой как с одной точкой, ведь вторая точка во всех парах – одинакова и бесконечно далека. Мы получили обычную Евклидову геометрию.

Какие окружности, пересекающиеся в О, изображают параллельные прямые? Т.к. у параллельных прямых нет точки пересечения (кроме бесконечно удаленной, а ее-то и изображает точка О), то и у таких окружностей О должна быть единственной общей точкой. Это возможно только если они касаются друг друга в точке О. Итак – параллельные прямые изображаются касающимися в точке О окружностями.

Заметим, что А(О)=В(О)=С(О) и любая окружность, проходящая через О – оставляет О неподвижной при инверсии. Поэтому никакой композицией инверсий невозможно отобразить какую-нибудь другую точку Х в точку О. Это – тоже свойство бесконечно удаленной точки. Никаким движением нельзя в нее попасть и она неподвижна при всех движениях плоскости.

В случае риманова расположения трех исходных А, В, С – любые две окружности, изображающие «прямые» геометрии пересекаются, так ведут себя прямые римановой геометрии. Если же исходные А, В, С – окружности Лобачевского, то среди окружностей, изображающих «прямые» геометрии есть очень много непересекающихся, что свойственно геометрии Лобачевского. Теперь заметим, что в случаях Риманова или Лобачевского расположения трех исходных окружностей А, В, С – существует ортогональная всем троим инверсия I. В случае Лобачевского I – действительная инверсия, у которой есть неподвижная окружность, в случае Риманова расположения исходных А, В, С – I будет мнимой инверсией. Все окружности, полученные описанным способом, изображающие «прямые» геометрии – будут ортогональны I. Это следует из того, что все окружности из пучков (A, B), (В, С), (А, С) – будут Ортогональны I, т.к. I ортогональна А, В, С, а пары точек пересечения окружностей, изображающих «прямые» – сопряжены относительно I. (см. ст. 6 и ст. 2).

Если радиус окружности I очень мал или мы расположены очень далеко от этой окружности, то свойства геометрий Лобачевского и Римана будут похожи на свойства геометрии Евклида. Ведь «очень маленькая окружность» – это почти точка. Или, если далеко уйти от окружности – она тоже покажется точкой.

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.