Снова задача Аполлония.

Вернемся к задаче Аполлония о нахождении окружностей, касающихся трех данных. Напомним вкратце проведенное в ст. 1 построение.

1. Были проведены биссектрисы между окружностями А, В, С

2. Декларировалось, что три биссектрисы пересекаются в двух точках (а случай, когда биссектрисы не пересекаются – вовсе не рассматривался).

3. Из точек пересечения биссектрис были проведены перпендикулярные к А, В, С окружности.

4. Из точек пересечения этих перпендикуляров с А, В, С выбиралось по точке и утверждалось, что окружность, проведенная через эти три точки – касается А, В и С.

Рисунок 16.

(Три окружности Римана А, В, С, биссектрисы между А и В, В и С и С и А пересекающиеся в двух точках и перпендикуляры из этих точек пересечения, точки пересечения и окружность, проходящая через них).

Этот метод всегда работает, если три исходные окружности – римановы, т.е. одна разделяет точки пересечения двух других. Тогда биссектрисы в самом деле обязательно пересекаются. Но как модифицировать его для случая, когда они не пересекаются. Например:

Рисунок 17.

(Три непересекающиеся окружности А, В, С, ни одна из них не разделяет две другие. Биссектриса между А и В и биссектриса между В и С не пересекают друг друга).

Тогда нам пригодится понятие пучка. Если биссектриса I1 между А и В не пересекается с биссектрисой К1 между В и С, то она все равно образует с К1 пучок окружностей. Теорема о биссектрисах утверждает, что одна из двух биссектрис между А и С – обязательно лежит в этом пучке. Мы докажем теорему о биссектрисах позднее. Если бы I1 и К1 пересекались, мы бы провели из точек пересечения окружности, перпендикулярные А, В и С. Это можно сформулировать более общим образом. Из пучка (I1, К1) выбираются инверсии, ортогональная (коммутирующие) с А, В или С. а этом можно сделать всегда, т.к. в любом пучке есть инверсия (действительная или мнимая), коммутирующая с данной – см. ст. 4. (Есть исключение, если данная окружность проходит через один из центров мнимого пучка).

Итак, мы разобрались с тем, что делать, если биссектрисы не пересекаются. Осталось доказать, что окружность, построенная указанным способом – в самом деле обязательно касается А, В, С. Сначала докажем, что эта построенная окружность – ортогональна биссектрисам I1 и К1 (между А и В и между В и С). I1(A)=B, K1(B)=C. Центры пучка (I1, K1) при симметрии относительно I1 перейдут в себя и сам пучок тоже, окружность пучка, ортогональная А – перейдет в окружность пучка, ортогональную В. Значит точки пересечения окружности этого пучка ортогональной А с А перейдут в точки пересечения окружности пучка, ортогональной В с В. Пусть точки пересечения перпендикуляра с А – А1 и А2, с В – В1 и В2. Значит I1(A1) равно или В1 или В2. Пусть это будет В1. Значит окружность, проходящая через А1 и В1 – ортогональна I1. Теперь рассмотрим действие К1 на В1 и В2. К1 опять-таки переводит пучок (I1, K1) в себя, а перпендикуляр с В в перпендикуляр в С (т.к. К1(В)=С). Пусть К1(В1)=С1. Тогда С1 – одна из точек пересечения перпендикуляра из пучка (I1, K1) к окружности С с С. проведем окружность через А1, В1, С1. Она ортогональна I1 т.к. I1(A1)=B1, она ортогональна K1, т.к. K1(B1)=C1. Что и требовалось доказать.

Обозначим построенную окружность, проходящую через А1, В1, С1 буквой S. Заметим, что мы еще и указали как именно выбирать точки (из пар точек пересечения), чтобы провести окружность, касающуюся А, В, С. Первую точку можно выбрать произвольно, затем отразить ее относительно I1 и К1 и взять образы. (Оставшиеся точки дадут вторую окружность, касающуюся А, В, С). Докажем, что если построенная окружность Ы касается одной из трех окружностей А, В, С – например, В – то она касается и остальных двух. Это просто. Пусть S касается В, тогда I1(S) касается I1(B)=A, К1(S) касается К1(В)=С. Но I1(S)=K1(S)=S т.к. S ортогональна I1 и К1. Значит S касается А и С, что и требовалось доказать.

Чтобы доказать, что S – искомая окружность, касающаяся А, В и С необходимо доказать, что S – касается В (одной из трех данных окружностей). Это будет сделано в следующих статьях.