Объемная модель различных геометрий.

Для читателей, внимательно прочитавших ст. 4 и просмотревших статью 5, я бы начал просто: рассмотрим А-отображение с центром в О сферы S.

1. Если О расположено снаружи S, то подгруппа, порожденная А-отображениями, коммутирующими с А-отображением в центре О – изоморфна группе движений плоской геометрии Лобачевского. Пара точек (Х, О(Х)) называется точкой геометрии Лобачевского, а прямыми геометрии Лобачевского – окружности сферы S, лежащие в одной плоскости с О. При этом А-отображение, коммутирующее с О(Х) определяет точечную или осесимметрию геометрии Лобачевского. Центр такого А-отображения лежит на поляре Точки О. Обозначим центр этого отображения – В. Если В вне сферы, то В(Х) – определяет осесимметрию, а если внутри – точечную симметрию.

2. Если О расположено внутри сферы, то определение «точек и прямых римановой геометрии» будет таким же, как и пред. случае, подгруппа, порожденная А-отображениями, коммутирующими с О(Х) – изоморфна группе движений римановой геометрии. Всякая точка В, лежащая на поляре О определяет осесимметрию римановой геометрии. поляра О в этом случае целиком лежит вне S.

3. Если О лежит на сфере S, то рассмотрим отображение всей сферы S в одну точку О и совокупность А-отображений коммутирующих с этим отображением. Пара точек (Х, О(Х)) – определяет точку евклидовой геометрии, а окружности, проходящие через О (лежащие в одной плоскости с О) – называются прямыми евклидовой геометрии. Центры А-отображений, коммутирующих с О(Х) (О(Х)=О для всех Х) лежат в плоскости, касающейся S в точке О. Эти А-отображения порождают подгруппу, изоморфную группе движений Евклидовой геометрии и каждое из них определяет осесимметрию геометрии Евклида.

Но, поскольку я стараюсь сделать статьи не очень зависимыми друг от друга, то сейчас поясню описанные конструкции. Пусть О – произвольная точка трехмерного евклидова пространства. Назовем «связкой» – все плоскости и прямые, проходящие через О. Заметим, что любые две плоскости из связки пересекаются по некоторой прямой из связки. поместим теперь в пространство сферу S. Я назову «точкой» геометрии (не уточняя пока какой – евклидовой, римановой или Лобачевского) – прямую из связки, пересекающую сферу. «Прямой» геометрии (опять-таки, не уточняя, какой именно геометрии) я назову плоскость из связки, пересекающую сферу. Покажем теперь, что свойства точек и прямых в геометриях Римана, Лобачевского и Евклида – в точности отвечают трем возможным случаям расположения сферы S и точки О.

1. Точка О лежит внутри сферы S. в этом случае всякая прямая связки пересекает сферу в двух точках, значит, задает «точку» геометрии, а всякая плоскость связки – пересекает сферу по некоторой окружности и потому задает некоторую «прямую» геометрии.. Как было замечено, всякие две плоскости связки («прямые» нашей геометрии) пересекаются по некоторой прямой связки («точке» нашей геометрии). Значит в нашей геометрии – все прямые пересекаются, параллельных прямых нет. Это и происходит в геометрии Римана.

2. Точка О лежит вне сферы S. В этом случае не все прямые связки пересекают сферу и потому – не все задают «точку» геометрии. Прямые, пересекающие сферу, лежат внутри конуса с вершиной в О, а основание конуса – окружность на сфере S в точках которой прямые связки касаются S. Точно также – не все плоскости связки пересекают сферу и потому – не все задают «прямую» геометрии. Возьмем две произвольные плоскости, пересекающие сферу S. Они пересекаются по некоторой прямой связки. Если эта прямая не пересекает сферу S, то «прямые» геометрии, определенные плоскостями связки – не имеют «точки» пересечения в нашей геометрии. можно построить целое семейство непересекающихся «прямых» нашей геометрии. Возьмем прямую связки, не имеющую со сферой S общих точек. Проведем любые две плоскости, проходящие через эту прямую и пересекающие S. Все они задают «прямые» геометрии, не имеющие общих точек. Это свойство прямых характерно для геометрии Лобачевского.

3. Точка О лежит на сфере S. Этот случай занимает промежуточное положение между двумя рассмотренными. Здесь, как и в предыдущем варианте – есть прямые связки, не задающие ни одной «точки» геометрии. Все они лежат на плоскости Н, касающейся S в точке О. Плоскость Н – единственная плоскость связки не пересекающая S и потому – единственная, которая не определяет «прямой» геометрии. Как устроены непересекающиеся прямые в этой геометрии? Возьмем произвольную плоскость А связки, не совпадающую с Н. Она пересекается с Н по некоторой прямой L. Если Другая плоскость связки, В пересекается с А по прямой L то «прямые» геометрии, заданные плоскостями связки А и В – не пересекаются. Предоставляю читателю самостоятельно проверить, что в этом случае выполняется пятый постулат Евклида, т.е. что через всякую точку геометрии всегда можно провести одну и только одну прямую не пересекающуюся с данной прямой.

Итак, мы видели, что свойства пересечений «прямых» геометрии, построенной на основе сферы S и связки с центром в О, в зависимости от расположения О вне, на поверхности, или внутри сферы S – соответствуют свойствам геометрии Лобачевского, Евклида или Римана. Теперь я покажу, как устроены осевые симметрии в этих геометриях. Для этого надо напомнить определение А-отображений в пространстве. Пусть дана произвольная точка В в пространстве, не лежащая на сфере S. А-отображением с центром в точке В сферы S называется отображение сферы в себя, при котором произвольной точке Х на сфере ставится в соответствие вторая точка пересечения прямой (В, Х) со сферой. Если (В, Х) касается сферы S, то В(Х)=Х (точка отображается сама в себя). Очевидна связь А-отображений с центром в В со связкой прямых с центром в точке В. Будем обозначать результат действия А-отображения с центром в точке В на Х как В(Х) (см. ст. 4). Очевидно из определения А-отображения В(В(Х))=Х. Иначе говоря В(Х) – инволютивное отображение и этим похоже на симметрию. поэтому А-отображения – хороший кандидат на симметрии геометрий, которые мы строим.

Ранее мы определяли «точку» геометрии как прямую связки с центром в О. Модифицируем определение. Назовем «точкой» геометрии – пару точек пересечения прямой связки со сферой. Или, такую пару точек на сфере S, которая лежит на одной прямой с О. Аналогично мы назовем «прямой» геометрии ту окружность, по которой плоскость связки пересекает сферу (или окружности сферы, лежащие в одной плоскости с О). После этой модификации мы можем изучать геометрию находясь на сфере S, а предыдущие определения годились, когда мы наблюдали сферу из точки О.

Произвольное А-отображение как-то отображает сферу S в себя. Чтобы А-отображение могло быть симметрией геометрии оно должно отображать «точки» геометрии снова в «точки» геометрии. Пусть В – центр А-отображения. Чтобы быть «кандидатом» в симметрии геометрии, В(Х) должно отображать пару точек, лежащую на одной прямой с О – снова в пару точек, лежащую на одной прямой с О. Запишем: если точки Х и Y на одной прямой с О, то В(Х) и B(Y) снова должны быть на одной прямой с О. (!) Заметим, что если О не на сфере S, то мы можем рассмотреть А-отображение с центром в О. То, что Х и Y лежат на одной прямой с О означает в точности то, что О(Х)=Y и условие (!) можно сформулировать и так: если О(Х)=Y, то О(В(Х))=В(Y). Или О(В(Х))=В(О(Х)). А это означает, что О(Х) и В(Х) – коммутируют. (см. начало ст. 4).

Пусть точка О, центр связки, лежит вне сферы S. Тогда, как было сказано ранее, на сфере S есть окружность, по которой прямые связки касаются S (основание конуса с вершиной в О). Эти касающиеся прямые связки не задают никакой точки геометрии. Более того, к точке К на этой окружности нельзя подобрать пару, т.е. вторую точку К1, такую, что (К, К1) – лежат на одной прямой с О и тогда пара точек (К, К1) задала бы точку геометрии. Легко понять, что все точки этой окружности должны остаться на ней же под действием А-отображений, подходящих для симметрий нашей геометрии, удовлетворяющих условию (!). Геометрически это означает, что все центры таких А-отображений должны лежать на плоскости, в которой лежит эта окружность касательного конуса. Эта плоскость называется полярой точки О. Пользуясь теорией поляр (см. ст. 4), можно доказать, что любая точка В на плоскости, полярной к О – удовлетворяет (!).

Итак, А-отображение с центром, лежащим на плоскости, полярной к О отображает точки геометрии (пары точек на сфере S, лежащих на одной прямой с О) в точки геометрии. Выясним, куда такое А-отображение отображает прямые нашей геометрии (окружности сферы, лежащие в одной плоскости с О). Не слишком сложно показать, что всякое А-отображение (где бы ни был его центр) отображает окружности сферы S – снова в окружности. (т.е. что если точки P, Q, T, W на сфере лежат на одной окружности, то и точки B(P), B(Q), B(T), B(W) – также лежат на одной окружности.) Для того, что А-отображение переводило «прямые» геометрии в «прямые» необходимо и достаточно, чтобы оно отображало всякую окружность, лежащую в одной плоскости с О в окружность, лежащую в одной в одной плоскости О. Опять-таки, я сошлюсь на теорию поляр. впрочем есть и другие не слишком сложные способы доказать, что: если центр А-отображения лежит на поляре О, то требуемое выполняется. Поэтому А-отображения с центрами на поляре к О – отображают «точки» геометрии в точки геометрии, а «прямые» – в «прямые».

Заметим, что мы рассуждали, используя «окружность касательного конуса» с центром в точке О. Т.е. все наши рассуждения пригодны пока только для случая, когда точка О лежит вне сферы S. Теория поляр позволяет расширить доказанное и на случай, когда О лежит внутри или на сфере S. Если О лежит внутри S то существует плоскость, не пересекающая сферу, которую называют полярой О (она обладает тем свойством, что О лежит на поляре к каждой точке это плоскости). Если центр А-отображения лежит на ней – то все нужные нам свойства выполняются. (А если центр А-отображения не в этой плоскости, то А-отображение не переводит «точки» геометрии в «точки»). Если же О лежит на сфере S, то ее полярой называют плоскость, касающуюся S в О. Предоставляю читателю самостоятельно доказать, что А-отображения с центрами на этой плоскости переводят «прямые» геометрии в «прямые» и «точки» в «точки». Заметим еще, что, хотя в данном случае точка О не задает никакого А-отображения, мы можем все-таки связать с ней отображение, отображающее все точки сферы S в точку О. (О(Х)=О для всех Х на сфере). И тогда можно сказать, что В, центр А-отображения лежит на поляре к О тогда и только тогда когда О(Х) коммутирует с В(Х).

Также А-отображения сохраняют углы между «прямыми» геометрии. Ведь А-отображения это инверсия сферы S (действительная или мнимая см. ст. 4), а инверсия – сохраняет углы между окружностями. «прямые» геометрии это – частный случай окружностей, значит А-отображение сохраняет углы и между ними. Итак А-отображения:

1. Отображают прямые геометрии в прямые.

2. Сохраняют углы между ними.

3. Инволютивны А(А(Х))=Х

В случае геометрий Римана или Лобачевского уже первых двух условий достаточно для того, чтобы утверждать – А-отображения сохраняют расстояния между точками, являются движением плоскости. В случае геометрии Евклида подобие также сохраняет углы между прямыми, но оно не сохраняет расстояние между точками и потому не является движением геометрии. Но подобие – не инволютивно! С учетом п. 3 и в этом, Евклидовом случае А-отображение будет движением плоскости (евклидовой). Точнее говоря – симметрией.

Относительно чего симметрия? Пусть В – произвольная точка на поляре О, симметрию относительно чего задает А-отображение с центром в В? Если В – вне сферы, то А-отображение с центром в В определяет на S окружность касательного конуса с вершиной в В. Если точка сферы Х лежит на этой окружности, то В(Х)=Х. Из теории поляр известно, что эта окружность лежит в одной плоскости с О и потому – является «прямой» геометрии. Именно симметрию относительно этой прямой и задает А-отображение с центром в точке В. Если же В лежит на поляре О и находится внутри S, то рассмотрим прямую (В, О). Она пересекает сферу S в двух точках, эта пара точек определяет «точку» геометрии. Именно симметрию относительно этой «точки» геометрии и задает А-отображение с центром в точке В.

Укажем еще, что в случае, когда О лежит вне сферы S (случай геометрии Лобачевского), то сечение сферы S полярной к О плоскостью Н – даст известную модель Кэли-Клейна. «Точкой» в этой модели будет пересечение прямой связки, пересекающей сферу S с Н, а «прямой» – пересечение плоскости связки, пересекающей сферу, с Н.

На мой взгляд, приведенная модель разных геометрий симпатична и своей наглядностью и «однородностью» (разные геометрии получаются в результате простого перемещения точки О вне, на и внутрь поверхности сферы). уже поэтому, думаю, их удобно использовать при обучении. модель можно изучать и далее.