Три окружности Лобачевского.

Рассмотрим случай А. Пусть есть три окружности Лобачевского.

Рисунок 5.

(Три окружности Лобачевского А, В, С. точки пересечения А и С – Р1 и Р2, точки пересечения А и В – Q1 и Q2, точки пересечения В и С – Т1 и Т2. Окружность S1, проходящая через P1, Q2, T1 и окружность S2, проходящая через P2, Q1, T2. Точки пересечения окружностей S1 и S2 – Н1 и Н2.)

Мы будем строить окружности, проходящие через одну из точек, каждой из трех пар точек пересечения окружностей между собой. Поскольку в каждой паре – две точки пересечения, а всего пар три, то всего таких окружностей 2х2х2=8. Эти восемь окружностей можно разбить естественным образом на пары, следующим образом. Выберем из трех двоек точек по одной точке., проведем через выбранные три точки окружность. Теперь возьмем оставшиеся три точки и проведем другую окружность. Она и будет парной к первой. Таким образом мы разбиваем 8 окружностей на четыре пары окружностей. На рис. 5 изображены две парные окружности: S1 и S2. S1 проходит через P1, Q2, T1, а S2 через оставшиеся точки – P2, Q1, T2.

Среди этих четырех пар окружностей может быть одна пара – непересекающихся (доказательство, что такая пара может быть только одна не сложно, но ради экономии места я здесь не буду его приводить, предлагаю сделать это самостоятельно и позже). Если она есть, мы ее не будем рассматривать. Таким образом у нас останется три пары пересекающихся окружностей. Пусть S1 и S2 – пересекаются. Обозначим точки их пересечения Н1 и Н2. Аналогично мы получим точки пересечения двух других пар окружностей, обозначим их H3, H4, H5, H6.

Теорема об ортогональной окружности к трем окружностям Лобачевского утверждает, что все эти шесть точек: Н1, Н2, Н3, Н4, Н5, Н6 – лежат на одной окружности I и эта окружность – ортогональна А, В, С. Также эту теорему можно назвать «Теоремой об описанных окружностях трехокружника Лобачевского» (назвав, по аналогии с треугольником, окружности, проходящие через точки пересечения трех данных, – «описанными окружностями»).

Доказательство. Из теоремы о пучках (ст. 2) мы знаем, что инверсия I, меняющая местами пары точек пересечения окружностей А, В, С – существует. I(P1)=P2, I(Q1)=Q2, I(T1)=T2. Из этого следует, что I(S1)=S2. И точно также – парные окружности, построенные на точках пересечения А, В, С – меняются местами под действием I. Теперь докажем лемму:

Если окружности F и G сопряжены инверсией O и пересекаются, то, если O – действительная инверсия, то точки пересечения остаются неподвижными, под действием О (лежат на О). Если О – мнимая инверсия, то… Мы выясним, что будет по ходу дела.

Доказательство тривиально. Т.к. O(F)=G, то точки пересечения F и G снова переходят в точки пересечения F и G. Т.к. точек пересечения всего две, то они – либо обе неподвижны, либо меняются местами. Рассмотрим сначала случай, когда О – действительная инверсия. Если пара точек пересечения F и G меняется местами под действием О, то все окружности, проходящие через эту пару – ортогональны О и при инверсии относительно О – останутся перейдут в себя. Но, по условию O(F)=G и F не совпадает c G. Следовательно, точки пересечения F и G не меняются местами под действием инверсии относительно О. Следовательно эти точки пересечения остаются неподвижны и поэтому лежат на О. Что и требовалось.

Пусть О – мнимая инверсия. Т.к. у мнимой инверсии нет неподвижных точек, то точки пересечения F и G – меняются местами. Но, применяя тоже самое рассуждения, что и для случая когда О – действительная инверсия, получим, что F и G – должны быть ортогональны О. Но этого не может быть, т.к. O(F)=G. Где же выход? Решение в том, что мы попутно доказали, что при мнимой инверсии образ окружности и ее прообраз не могут пересекаться (но могут совпадать)! (В противном случае получается противоречие: точки пересечения не могут ни быть неподвижными, не могут и поменяться местами. Значит этих точек просто нет.)

Вернемся к трем окружностям Лобачевского, изображенным на рис. 5 и нашей теореме. Применим лемму, получим: Н1, Н2 лежат на окружности I, ортогональной А, В, С, точно также и Н3, Н4, Н5, Н6 – лежат на этой окружности. Т.к. все эти точки лежат на пересечении окружностей, меняющихся местами при инверсии относительно I. Что и требовалось.