Теорема Виета

739.* Верно ли утверждение:

1) уравнение 7 x ² + 4 x – a ² – 1 = 0 имеет корни разных знаков при любом значении a;

2) если уравнение x ² + 6 x + a ² + 4 = 0 имеет корни, то независимо от значения a они оба отрицательны?

740.* Найдите все целые значения b, при которых имеет целые корни уравнение:

1) x ² + bx + 6 = 0; 2) x ² + bx – 12 = 0.

741.* Найдите все целые значения b, при которых имеет целые корни уравнение:

1) x ² + bx + 8 = 0; 2) x ² + bx – 18 = 0.

743.* При каком значении a сумма квадратов корней уравнения x ² – 4 x + a = 0 равна: 1) 12; 2) 6?

744.* При каком значении a сумма квадратов корней уравнения x ² + (a – 1) x – 2 a = 0 равна 9?

796.* Для каждого значения a решите уравнение:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

797.* При каких значениях a уравнение имеет единственный корень?

Пример 4. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Решив квадратное уравнение системы, получаем x ₁ = 2 b – 2, x ₂ = b + 1.

Сначала рассмотрим случай, когда квадратное уравнение системы имеет единственный корень. Для этого надо, чтобы x ₁ = x ₂, т.е. 2 b – 2 = b + 1. Отсюда b = 3. Однако при b = 3 x ₁ = x ₂ = 4, т.е. квадратное уравнение имеет единственный корень, но он не принадлежит области определения исходного уравнения.

Теперь рассмотрим случай, когда корни квадратного уравнения системы различны. Для того, чтобы x ₁ и x ₂ были корнями данного уравнения, должны выполняться такие условия: x ₁ ¹ 4, x ₁ ¹ –1, x ₂ ¹ 4, x ₂ ¹ –1. Поэтому, чтобы решение было единственным, найдем условия, при которых в области определения исходного уравнения остается только один корень:

1) 2) 3) 4)

Легко определить (убедитесь в этом самостоятельно), что первая и третья системы решений не имеют, а из второй и четвертой соответственно получаем , b = –2.

Ответ: или b = –2.

Класс